算法刷题AcWing 100. 增减序列——差分
Posted Ricky_0528
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了算法刷题AcWing 100. 增减序列——差分相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
给定一个长度为 n n n 的数列 a 1 , a 2 , … , a n a_1,a_2,…,a_n a1,a2,…,an，每次可以选择一个区间 [ l , r ] [l,r] [l,r]，使下标在这个区间内的数都加一或者都减一
求至少需要多少次操作才能使数列中的所有数都一样，并求出在保证最少次数的前提下，最终得到的数列可能有多少种
输入格式
第一行输入正整数
n
n
n
接下来 n n n 行，每行输入一个整数，第 i + 1 i+1 i+1 行的整数代表 a i a_i ai
输出格式
第一行输出最少操作次数
第二行输出最终能得到多少种结果
数据范围
0
<
n
≤
105
0 < n \\leq 105
0<n≤105
0
≤
a
i
<
2147483648
0 \\leq a_i < 2147483648
0≤ai<2147483648
输入样例
4
1
1
2
2
输出样例
1
2
对一个序列同时加一减一，有一个非常常用的方式就是差分
一个序列：
a
1
,
a
2
.
.
.
a
n
，构造其差分序列
b
1
=
a
1
b
2
=
a
2
−
a
1
b
3
=
a
3
−
a
2
.
.
.
b
n
=
a
n
−
a
n
−
1
这样所有数一样就转化为让
b
2
∼
b
n
=
0
，
b
1
任选，最后整个序列就由
b
1
决定
问题转化为：
①至少操作多少次，可以使
b
2
∼
b
n
=
0
②在操作次数最小的情况下，
b
1
由多少种取值
a
L
∼
a
R
加上
1
经由差分序列可以转化为
b
L
+
=
1
,
b
R
+
1
−
=
1
目标是让
b
2
∼
b
n
=
0
,
b
1
和
b
n
+
1
随意，故将所有操作按对
b
的影响分为
4
类：
①
2
≤
L
≤
R
≤
n
−
1
：在
b
2
∼
b
n
中令某一个数加
1
另外一个数减
1
②
L
=
1
,
R
≤
n
−
1
：
b
1
加
1
，
b
2
∼
b
n
中的某个数减
1
；
b
1
减
1
，
b
2
∼
b
n
中的某个数加
1
③
2
≤
L
,
R
=
n
：
b
n
+
1
加
1
，
b
2
∼
b
n
中的某个数减
1
；
b
n
+
1
减
1
，
b
2
∼
b
n
中的某个数加
1
④
L
=
1
,
R
=
n
：无意义
因为①操作可以改变两个
b
2
∼
b
n
的数，故应该优先使用
设所有的正数之和为
p
，负数的绝对值之和为
q
，先使用①操作
m
i
n
p
,
q
次，剩余
∣
p
−
q
∣
次用②或③操作
故总共需要操作的次数为
m
i
n
p
,
q
+
∣
p
−
q
∣
=
m
a
x
p
,
q
对于剩下的
∣
p
−
q
∣
个数，可以选②或者③，②操作会改变
b
1
③操作不会改变
因而总共不同的个分配方案有
∣
p
−
q
∣
+
1
个
对一个序列同时加一减一，有一个非常常用的方式就是差分\\\\ 一个序列：a_1,\\ a_2\\ ...\\ a_n，构造其差分序列\\\\ b_1=a_1\\\\ b_2=a_2-a_1\\\\ b_3=a_3-a_2\\\\ ...\\\\ b_n=a_n-a_n-1\\\\ 这样所有数一样就转化为让b_2\\sim b_n=0，b_1任选，最后整个序列就由b_1决定\\\\ 问题转化为：\\\\ ①至少操作多少次，可以使b_2\\sim b_n=0\\\\ ②在操作次数最小的情况下，b_1由多少种取值\\\\ a_L \\sim a_R加上1经由差分序列可以转化为b_L+=1,\\ b_R+1-=1\\\\ 目标是让b_2\\sim b_n=0,\\ b_1和b_n+1随意，故将所有操作按对b的影响分为4类：\\\\ ①2\\leq L\\leq R\\leq n-1：在b_2 \\sim b_n中令某一个数加1另外一个数减1\\\\ ②L=1,\\ R\\leq n-1：b_1加1，b_2 \\sim b_n中的某个数减1；b_1减1，b_2 \\sim b_n中的某个数加1\\\\ ③2\\leq L,\\ R=n：b_n+1加1，b_2 \\sim b_n中的某个数减1；b_n+1减1，b_2 \\sim b_n中的某个数加1\\\\ ④L=1,\\ R=n：无意义\\\\ 因为①操作可以改变两个b_2 \\sim b_n的数，故应该优先使用\\\\ 设所有的正数之和为p，负数的绝对值之和为q，先使用①操作min\\p,q\\次，剩余|p-q|次用②或③操作\\\\ 故总共需要操作的次数为min\\p,q\\+|p-q|=max\\p, q\\\\\\ 对于剩下的|p-q|个数，可以选②或者③，②操作会改变b_1③操作不会改变\\\\ 因而总共不同的个分配方案有|p-q|+1个
对一个序列同时加一减一，有一个非常常用的方式就是差分一个序列：a1, a2 ... an，构造其差分序列b1=a1b2=a2−a1b3=a3−a2...bn=an−an−1这样所有数一样就转化为让b2∼bn=0，b1任选，最后整个序列就由b1决定问题转化为：①至少操作多少次，可以使b2∼bn=0②在操作次数最小的情况下，b1由多少种取值aL∼aR加上1经由差分序列可以转化为bL+=1, bR+1−=1目标是让b2∼bn=0, b1和bn+1随意，故将所有操作按对b的影响分为4类：①2≤L≤R≤n−1：在b2∼bn中令某一个数加1另外一个数减1②L=1, R≤n−1：b1加1，b2∼bn中的某个数减1；b1减1，b2∼bn中的某个数加1③2≤L, R=n：bn+1加1，b2∼bn中的某个数减1；bn+1减1，b2∼bn中的某个数加1④L=1, R=n：无意义因为①操作可以改变两个b2∼bn的数，故应该优先使用设所有的正数之和为p，负数的绝对值之和为q，先使用①操作minp,q次，剩余∣p−q