如何求解三次方程

Posted 2022-07-30 海枫

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了如何求解三次方程相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

背景

说到方程求解，我想大家都会想到一元二次方程：

ax2+bx+c=0 $ax^2 + bx + c = 0$
可使用 配方法，求得根为：

x=−b±b2−4ac−−−−−−−√2a $x = \\frac -b \\pm \\sqrt b^2-4ac 2a$

当 $b^2 - 4ac > 0$ 时，方程有两实根
当 $b^2 - 4ac = 0$ 时，方程有两相同实根
当 $b^2 - 4ac < 0$ 时，没有实根，但在复数上有两复根

当二次方程求解成功之后，人们开始转向研究解决三次主程的方法。然而在解决三次方程时，人们的进展没有想像中那么快。但人们还是找到了一些特殊三次方程的解决，于是乎，学术界和民间纷纷开展了一场解决三次方程的比赛。也有人找到了通用的解方程办法，但是秘而不宣，造成三次方程的解决一直没有告知于众。

数学界解三次方程这段历史非常有历，在这些就不详细说明了，有兴趣的读者可以网上google一下，可以找到不错的史料。

为了降低阅读的难度，本文先介绍一种特殊三次方程的解决，看看如何求解决这种特殊的三次方程。

特殊三次方程求解

卡尔丹首先突破的三次方程是没有二次项的三次方程，它的形式如下：

x3+px+q=0 $x^3 + px + q = 0$

那如何解这个新方程呢？卡尔丹想到很奇妙的方法，令 $x=u+v$ ，代入原方程，化简后得：

u3+v3+3uv(u+v)+p(u+v)+q=0 $u^3 + v^3 + 3uv(u+v) + p(u+v)+q = 0$

然后，再对u和v增加一个约束： $3uv=-p$ ，就可以将 $(u+v)$ 项消灭，从而得到：

u3+v3+q=0 $u^3 + v^3 + q = 0$

由增加的约束可得 $v=-\\frac p 3u$ ，代入得：

u3+(−p/3u)3+q=0 $u^3 + (-p/3u)^3 + q = 0$

然后两边同时乘以 $27u^3$ ，整理移项得：

27u6+27qu3−p3=0 $27u^6 + 27qu^3 - p^3 = 0$

显然，此方程可以看作是 $u^3$ 为变元的二次方程，根据二次方程的求根公式，马上可以得到：

u3=−q2±q24+p327−−−−−−−√ $u^3 = -\\frac q 2 \\pm \\sqrt \\fracq^2 4 + \\frac p^3 27$

从这里开始就犯难了，这里遇到两个问题：
1. 如果 $\\frac q^2 4 + \\frac p^3 27 < 0$ ，则 $\\sqrt \\frac q^2 4 + \\frac p^3 27$ 是复数。
2. 从 $u^3$ 中求解 $u$ ，似乎又涉及3次方程求解，它有3个根，而且涉及复数。

为了保证求解过程不产生跳跃性，我们对q1238：一元三次方程求解