模板树状数组

Posted 2023-04-01 代号灵

目录：

单点修改，区间查询：

        题目描述：

        lowbit()运算：

        插入、修改单点数据：

        计算前缀和：

        完整代码：

区间修改，单点查询：

        计算差分数组：

        计算每个点的值：

        完整代码：

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单点修改，区间查询：

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题目描述：

如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

• 将某一个数加上 x

• 求出某区间每一个数的和

输入格式

第一行包含两个正整数 n, m，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

第二行包含 n 个用空格分隔的整数，其中第 i 个数字表示数列第 i 项的初始值。

接下来 m 行每行包含 3 个整数，表示一个操作，具体如下：

• 1 x k 含义：将第 x 个数加上 k

• 2 x y 含义：输出区间 [x, y] 内每个数的和

输出格式

输出包含若干行整数，即为所有操作 2 的结果。

lowbit()运算：

//非负整数n在二进制表示下最低位1及其后面的0构成的数值
//eg.lowbit(12) = lowbit((1100)2) = (100)2 = 4
//将1100按位取反后加一得到0100，会发现除了最低位的一和后面的零，其余位上与原数均相反
//故两者按位与后正好得到最低位1及其后面的0构成的数值
//又取反加一为补码，故lowbit为k & -k
int lowbit(int k) 
    return k & -k;

 插入、修改单点数据：

//如图：
//tree[x]保存以x为根的子树中叶节点值的和
//将x转化为二进制后，发现每一层的末尾的零的个数都相同
//且tree[x]覆盖的长度即为lowbit(x)的值
//tree[x]的父节点为tree[x + lowbit(x)]
void add(int x, int k) 
    while(x <= n) 
        tree[x] += k;
        x += lowbit(x);
    

计算前缀和：

//由图可知，若求前7项的和，则该值为tree[7] + tree[6] + tree[4]
//故，通过循环可以求出结果
int sum(int x) 
    int ans = 0;
    while(x != 0) 
        ans += tree[x];
        x -= lowbit(x);
    
    return ans;

完整代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5e5 + 10;
int n, m, a, flag, p, q, tree[N];

int lowbit(int k) 
    return k & -k;


void add(int x, int k) 
    while(x <= n) 
        tree[x] += k;
        x += lowbit(x);
    


int sum(int x) 
    int ans = 0;
    while(x != 0) 
        ans += tree[x];
        x -= lowbit(x);
    
    return ans;


int main() 
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) 
        scanf("%d", &a);
        add(i, a);
    
    for(int i = 1; i <= m; ++i) 
        scanf("%d %d %d", &flag, &p, &q);
        if(flag == 1)
            add(p, q);
        else
            printf("%d\\n", sum(q) - sum(p - 1));
    
    return 0;

区间修改，单点查询：

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计算差分数组：

//与单点修改、区间查询类似
void add(int x, int k) 
    while(x <= n) 
        tree[x] += k;
        x += lowbit(x);
    

计算每个点的值：

//与单点修改、区间查询类似
//此时计算的结果为每个点的值
int query(int x) 
    int ans = 0;
    while(x != 0) 
        ans += tree[x];
        x -= lowbit(x);
    
    return ans;

完整代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5e5 + 10;
int n, m, now, last, flag, p, q, num, tree[N];

int lowbit(int k) 
    return k & -k;


void add(int x, int k) 
    while(x <= n) 
        tree[x] += k;
        x += lowbit(x);
    


int query(int x) 
    int ans = 0;
    while(x != 0) 
        ans += tree[x];
        x -= lowbit(x);
    
    return ans;


int main() 
    scanf("%d %d", &n, &m);
    //计算差分数组，将相差的值放入数组中
    //eg.原本的数组应为a[] = 1, 6, 8, 5, 10
    //则差分数组应为b[] = 1, 5, 2, -3, 5
    for(int i = 1; i <= n; ++i) 
        scanf("%d", &now);
        add(i, now - last);
        last = now;
    
    for(int i = 1; i <= m; ++i) 
        scanf("%d", &flag);
        //若要修改区间[p, q]的值
        //例如上述举的例子，若要将区间[2, 4]均加上3
        //则原数组变为a[] = 1, 9, 11, 8, 10
        //差分数组变为b[] = 1, 8, 2, -3, 2
        //即对差分数组来说只需修改下标为p的值，和下标为q + 1的值
        if(flag == 1) 
            scanf("%d %d %d", &p, &q, &num);
            add(p, num);
            add(q + 1, -num);
        
        //若查询某个点的值
        //前p个差分数组的值相加即为该点的值
        //与单点修改、区间查询中的求前缀和类似
        else 
            scanf("%d", &p);
            printf("%d\\n", query(p));
        
    
    return 0;

树状数组模板

• 树状数组是一个查询和修改复杂度都为 \(log\left(n\right)\) 的数据结构

• 所有树状数组能够完成的线段树都能够完成,而线段树能够完成的树状数组

• - 那么既然线段树能够完成所有树状数组能够完成的,树状数组有什么用呢?

• - 因为树状数组简洁,内存小,常数小

可以先百度一下树状数组了解树状数组

• 单点修改,区间查询

  #include <cstdio>
  using namespace std;
  void Update(int i,int x){
  while (i<=MAX_TREE_SIZE) tr[i]+=x,i+=lowbit(i);
  }
  int Query(int i){
  int sum=0;
  while (i!=0) sum=sum+tr[i],i-=lowbit(i);
  return sum;
  }