数学知识整理：不定积分

Posted 2022-06-17 UQI-LIUWJ

1 不定积分公式

 

,	result+C
1.1 基础公式
k	kx
(k≠-1）
	ln|x| （注意绝对值）
(a≠1）
1.2 三角函数
sinx	-cosx
cosx	sinx
tanx	（注意绝对值）
cotx	ln|sinx| （注意绝对值）
	ln|secx+tanx| （注意绝对值）
	ln|cscx-cotx| （注意绝对值）
secxtanx	secx
cscxcotx	-cscx
	-cotx-x
1.3 分式和根式
	（注意绝对值）
	（注意绝对值）
	（注意绝对值）
	（注意绝对值）

2 常用不定积分计算方法

2.1 凑微分法（第一类换元法）

 2.1.1 举例

 

 

    【为了后续凑】

 【使得二次项系数为1】

可以发现这就是形式的不定积分

所以结果为

2.1.2 常见凑微分

2.1.2.1 基础凑微分
原始不定积分形式	凑微分后不定积分形式
(a≠0)
(1+lnx)dx	d(xlnx)
2.1.2.2 三角函数凑微分
	(推导过程如下：

2.2 第二类换元法

2.2.1 基本思想

2.2.2 常用换元

2.2.2.1 三角代换
	通过配方转成上面的某一种
2.2.2.2 根式代换 或者也考虑能不能三角代换
	t=
	t=
	t=
同时有和	，s是n和m的最小公倍数
2.2.2.3 倒数代换 在被积函数中，分母的次数比分子的次数高2次及以上时，可令 试试看
2.2.2.4 万能代换 对于,可以考虑使用进行代换 此时
2.2.2.5 三角函数的变换 对于
	凑d(cosx)
	凑d(sinx)
	凑d(tanx)
(m≠n)	使用积化和差
	m,n 中至少一个奇数——>利用凑积分来完成 m,n都是偶数——>使用倍角公式

 

2.2.3 举例（三角代换）

在数学知识整理：三角函数公式复习_UQI-LIUWJ的博客-CSDN博客中，有

所以这边我们也用三角代换，令x=tanu

 

然后我们把u带回去【仅仅做到u这一步是不够的】

 所以

带回去有

所以原式=

首先处理一下原式

 在数学知识整理：三角函数公式复习_UQI-LIUWJ的博客-CSDN博客中，有

所以我们同样进行三角代换，令x-1=2secu

这里还得需要一个小trick，就是万能公式

所以原式进一步

我们令

那么原式

然后我们先找回u的辅助三角形

 再根据半角公式

 所以原式

2.2.4 举例：根式代换 

2.2.4.1 方法1（根式代换）

 ——>,  

原式

而前面我们知道：

所以原式

2.2.4.2 方法2（三角代换）

 

令x=sint

 

同样地，通过辅助三角，有：

2.2.5 举例（倒数代换）

令

 

2.2.6 举例（万能代换）

令  则x=2arctant  

 

2.2.7 举例（三角函数变换）

凑d(cosx)

 

∵——>凑d(cosx)

凑d(tanx)

 

——>凑d(tanx)

3 分部积分

3.1 基本思想

 

3.2 “优先级”

优先级（排在前面的是u，后面的是v）

反三角函数>对数函数>幂函数>三角函数≥指数函数

3.3 举例

3.3.1 常规

幂函数>三角函数，所以v是三角函数

3.3.2 循环型

这俩优先级差不多

又转了回去

所以

3.3.3 重新调配

反三角函数>幂函数，所以v是幂函数