如何快速的计算出一个数的n次方

Posted 2023-03-31

n很小的整数时，将这个数自乘n次即可。

当n为较大可因数分解x*y时，可分两步算a^n=a^(x*y)=(a^x)^y。

如10^15=10^(3*5)=(10^3)^5=1000^5=10^15

次方有两种算法：

第一种是直接用乘法计算，例：3⁴=3×3×3×3=81

第二种则是用次方阶级下的数相乘，例：3⁴=9×9=81

参考技术A

可以用科学型计算器快速计算，具体操作方法是：

操作工具：电脑win7

1、首先，我们双击桌面的计算器，把科学型计算器打开。

2、可以用计算器算出数的任意次方，比如想要算出2的8次方的结果，可以先用鼠标的左键点击2，这时候在计算器的屏幕上会显示出2。

3、然后，我们再用鼠标的左键点击x^y键。

4、然后，再用鼠标的左键点击8。

5、然后再用鼠标的左键点击=键，这时计算器的屏幕上就会显示出2的8次方的结果是256了。

参考技术B 回答

你好 很高兴可以为你解答 我是小雪老师 一个数的n次方计算技巧：n很小的整数时,将这个数自乘n次即可；当n为较大可将n因数分解x*y时,可分两步算a^n=a^(x*y)=(a^x)^y。

参考技术C n很小的整数时，将这个数自乘n次即可。
当n为较大可因数分解x*y时，可分两步算a^n=a^(x*y)=(a^x)^y
如10^15=10^(3*5)=(10^3)^5=1000^5=10^15
其它情况如非整数/非负数，一般用计算器算。
如(2.34)^1.25
输入
2.34
x^y
1.25
可得2.8941419064359293756760123355942 参考技术D 一个数的n次方的计算方法：
1、n很小的整数时,将这个数自乘n次即可。

例如：2的5次方就是2×2×2×2×2=32

当n不是太大但又不是很小的时候,可以将n换成两个数的相乘。例如2的20次方,可以写成2的4次方的5次方,或者2的2次方的10次方。

2、当n为较大可将n因数分解x*y时,可分两步算，先算这个数的x次方，再算结果的y次方。两部可以分开计算,一步一步计算。

a^n=a^(x*y)=(a^x)^y

例如：10^15=10^(3*5)=(10^3)^5=1000^5=10^15

计算机快速计算，2^N是如何实现的？

计算乘方是有快速算法的，并不是一个一个蛮力乘上去的。比如想算2^10000，计算机先算2^5000，再算一次平方，即两个数的乘法。而为了计算2^5000，计算机会先算2^2500再算一次平方。这个算法叫快速幂算法，对于2^N的计算，如果认为每次乘法的时间复杂度是O(1)的话，那整体的时间复杂度只有O(logN)级别。

一般来说，为了实现快速幂算法，首先把指数做二进制表示，比如你要算A的23次方，可以把23分解为16+4+2+1。然后计算B=A^2，C=B^2=A^4，D=(C^2)^2=A^16。最终结果为ABCD相乘。

但这里乘法的复杂度并不是O(1)，因为它是无限精度的，也就是所谓的大数乘法。大数乘法也有很多算法，最朴素的，类似手算的方法，复杂度是O(N^2)，其他一些方法有分治法，复杂度O(N^1.58)，FFT方法，复杂度O(N logN loglogN)等。快速幂的O(logN)次大数乘法中，最复杂的只有最后一次，也就是2^5000的那次，前面的复杂度几何级数衰减，所以整体复杂度也就是最后一次计算的复杂度。如果你用FFT方法的话，复杂度也就是比线性多了一点点，一般计算机上随便算算就出来了。

CPU没有全速运行是因为这个程序只用了1个核心在做计算，而你显示的是总的使用率，所以大概会保持在四分之一的水平。

是否用到了移位操作涉及Python大数运算的具体设计，我不是很懂就不多讲了。但原理上讲也是很有可能的，如果用比特串存储大数的话，那么计算2^N只需要在数组的第N位设置一个1，其余设置为0即可，那么转换到十进制是这段代码中最消耗计算量的部分。

参考技术A

其实远不用2秒，你大量的时间是耗费在结果的输出，也就是第二行命令上的。你要看究竟有多块，在ipython下用命令：%time a = 2**1000000，你会发现耗时仅仅是纳秒级（单位应该是微秒，计算2^1000000大约需要10微秒，说得太夸张了，谢谢
@lixin liu
的指正。）级的。
以2.4GHz的i5 520为例，一个cycle占用1/(2.4GHz)，那么运行2.4万个cycle耗时越为10万分之一秒，约为10微秒。
大整数按二进制存，乘方速度其实很快，只是打印出来要转十进制。
而实际上，刨去打印时间，耗费第二的时间应该是在做除法。
如果你有兴趣你还可以学学大整数转十进制的log级别（大概是可能有两个log）算法。

参考技术B

首先，99%时间花在输出上了，实际耗时我估计是在微秒单位上。
其次，虽然python内置无限精度计算，但依旧怀疑python的性能，而且这里是简单的单线程。如果用GMP + std::async的话，再高上一个数量级都不奇怪

不管指数是多少，都可以将其分解为 2 的倍数的和，因为任何整数都能够写成 2 进制的形式，比如 62 = 00111110B。

以上算法中，随着迭代 n 会变成 x, x^2, x^4, x^8,…，我们只需要在合适的时候让它和 ans 相乘即可。合适的时刻就是 N 的二进制表示的相应位上为 1 的时候，这里使用了右移，只需要判断最低位是不是 1 就好了。

这个算法是 O(logN) 的。之所以输入 2**100000 很久没有出现答案，那是因为显示出来要花费大量时间，输入输入 `a = 2**1000000` 那么就立刻执行完毕了。