动态规划：最长公共子串和最长公共子序列

Posted 2022-06-13 我家大宝最可爱

最长公共子串

给定两个字符串，求出最长的相同的子串，例如给定子串asdfas和werasdfaswer，其中两个子串串中共有的最长子串就是asdfas这个字符串。
同样，这道题一看就是动态规划，我们首先列出状态转移方程，假设两个字符串分别以i,j为结尾的最长公共子串长度为dp[i][j]，当A[i]==B[j]时，dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1，如果这两个字符不相等，也就是说以A[i],B[j]为结尾的这两个字符串就不是公共子串，此时dp[i][j]=0

a	s	d	f	a	s
w	e	r	a	s	d	f	a	s	w

s1 = input()
s2 = input()

n1 = len(s1)
n2 = len(s2)

dp = [[0 for _ in range(n2)] for _ in range(n1)]
max_len = 0
for i,x in enumerate(s1):
    for j,y in enumerate(s2):
        if x == y:
            if i == 0 or j == 0:
                dp[i][j] = 1
            else:
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
        if dp[i][j] > max_len:
            max_len = dp[i][j]
print(max_len)

最长公共子序列

公共子序列不需要连续，因此，即使两个字符串不相等，dp[i][j]也不会为0。当前两个字符不等，t1[i]!=t2[j]的话，那么长度最少也是dp[i-1][j-1]，但这还不够，因为我们希望拿到之前的比较中尽可能大的长度。那么当前字符已经不相等的情况下，就应该把当前的字符也放入到之前的比较中，那么一定有dp[i][j-1]和dp[i-1][j]>=dp[i][j]。简单来说，dp[i][j]的值应该从dp[i-1][j-1],dp[i][j-1],dp[i-1][j]三者中取，但dp[i][j]≤另外两个，故比较另外两个，取较大的。

我们定义的状态表示f数组和text数组下标均是从1开始的，而题目给出的text数组下标是从0开始的，为了一 一对应，在判断text1和text2数组的最后一位是否相等时，往前错一位，即使用text1[i - 1]和text2[j - 1]来判断。

这里解释一下为什么f数组和text数组均定义成下标从1开始。原因是因为状态转移方程 f[i][j] = max(f[i - 1][j],f[i][j - 1]), 当我们的f数组定义成下标从1开始以后，我们就可以在代码中不用对下标越界问题做出额外判断。其实我们也可以发现一个问题，就是题目给定的原数组，比如text数组，如果下标从1开始的话，状态表示会更加的清晰，推导状态转移方程的过程也会更加好理解。

class Solution:
    def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int:
        m, n = len(text1), len(text2)
        dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
        
        for i in range(1, m + 1):
            for j in range(1, n + 1):
                if text1[i - 1] == text2[j - 1]:
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
                else:
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])
        
        return dp[m][n]

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