排序算法系列：Shell 排序算法

Posted 2022-06-11 Q-WHai

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了排序算法系列：Shell 排序算法相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

概述

希尔排序（Shell Sort）是 D.L.Shell 于 1959 年提出来的一种排序算法，在这之前排序算法的时间复杂度基本都是 O( $n^2$ ) 的，希尔排序算法是突破这个时间复杂度的第一批算法之一。希尔排序是一种插入排序算法。

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本文作者：Q-WHai
发表日期： 2016年4月12日
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算法简介

希尔排序（Shell Sort）是 D.L.Shell 于 1959 年提出来的一种排序算法，在这之前排序算法的时间复杂度基本都是 O( $n^2$ ) 的，希尔排序算法是突破这个时间复杂度的第一批算法之一。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　– 《大话数据结构》

算法原理分析

在上一篇《排序算法系列：插入排序算法》一文中，我们说到了一种复杂度为 O( $n^2$ ) 的排序算法。而对于插入排序而言，如果我们的排序序列基本有序，或是数据量比较小，那么它的排序性能还是不错的。为什么？可能你会这样问。数据量小，这个不用多说，对于多数排序算法这一点都适用；如果一个序列已经基本有序（序列中小数普遍位于大数的前面），那么我们在插入排序的时候，就可以在较少的比较操作之后使整体有序。如果，这一点你还不是很明白，可以先看看《排序算法系列：插入排序算法》一文中的解释。
基于上面基本有序和小数据量的提示，这里就有了希尔排序的实现。希尔所做的就是分组，在每个分组中进行插入排序。如下就是希尔排序中分组的示意图：

在上图中，我们将一个长度为 10 的序列，分组成 3 组。除最后一组以外的分组都包含了 4 个元素。可是，我们排序的时候并不是在这些分组内部进行的。而是我们要按照上面圆形的标号来进行插入排序，也就是排序中的 [4, 9, 7]。你可以先想一想这是为什么，在文章的最后，我再说明这个问题。

上面从详细地说明了希尔排序的由来及希尔排序的分组精髓。那么现在就要说希尔排序中的插入排序，是的没有错。毕竟希尔排序的核心就是分组+插入排序嘛。在这个示意图中，我们可以很明显地看出它想表达的东西。这里只是将[3, 9, 7]看成了一个整体，对于其它的元素，暂时与[3, 9, 7]无关。

通过上面的两步操作，我们可以得到一个序列 T1 = [4, 0, 6, 1, 7, 2, 8, 5, 9, 3]。咦，这个序列还是无序的呀，怎么回事？我们说希尔排序的核心是分组和获得一个基本有序的数组。这里说的是基本有序，并未做出承诺说这个序列已经有序。那么，现在要做的就是继续分组+插入排序。当然，对应的 step 是要进行修改的。详细过程，参见下面的算法步骤。

算法步骤

通过上面的算法原理分析，这里可以总结出算法实现的步骤。如下：

获得一个无序的序列 T0 = [4, 3, 6, 5, 9, 0, 8, 1, 7, 2]，并计算出当前序列状态下的步长 step = length / 3 + 1；
对序列 T0 按照步长周期分组；
对每个子序列进行插入排序操作；
判断此时的步长 step 是否大于 1？如果比 1 小或是等于 1，停止分组和对子序列的插入排序，否则，就继续；
修改此时的步长 step = step / 3 + 1，并继续第 2 到第 4 步；
排序算法结束，序列已是一个整体有序的序列。

逻辑实现

这是Shell 排序的核心模块，也是分组的关键步骤

private void core(int[] array) 
        int arrayLength = array.length;
        int step = arrayLength;
        do 
            step = step / 3 + 1;
            for (int i = 0; i < step; i++) 
                insert(array, i, step);
            
            System.err.println(Arrays.toString(array));
         while (step > 1);

希尔排序的直接插入排序，注意这里不同的是它只是针对某一个分组子序列进行插入排序

private void insert(int[] array, int offset, int step) 
        int arrayLength = array.length;
        int groupCount = arrayLength / step + (arrayLength % step > offset ? 1 : 0);
        for (int i = 1; i < groupCount; i++) 
            int nextIndex = offset + step * i;
            int waitInsert = array[nextIndex];
            
            while(nextIndex - step >= 0 && waitInsert < array[nextIndex - step]) 
                array[nextIndex] = array[nextIndex - step];
                nextIndex -= step;
            
            
            array[nextIndex] = waitInsert;

更多详细逻辑实现，请参见文章结尾的源码链接。

复杂度分析

排序方法	时间复杂度			空间复杂度	稳定性	复杂性
	平均情况	最坏情况	最好情况
Shell 排序	O($n^3/2$)	O($n^2$)	O(n)	O(n)	不稳定	较复杂

问题解答

为什么我们排序的时候并不是在这些分组内部进行的？
答：这里我们分组的目的在于要完成的是对整个序列的基本序列处理，那么我们肯定想要让这些分组的数据尽量地分散开。如果要针对每个分组内部进行插入排序，那么之后的每次操作，都会是在内部进行的，这样的结果就是每个分组内部已经有序，只是整体仍然是无序的。
分组步长的计算公式为什么是 step = step / 3 + 1？
答：这里的步长计算很关键，可是究竟应该选取什么样的增量才是最好的，目前还尚未解决。不过大量的研究表明，当增量序列为 dlta[k] = $2^t-k+1$ - 1 (0 <= k <= t <= [ $log_2$ (n+1)])时，可以获得不错的效果，其时间复杂度为 O( $n^3/2$ )。