对向量方阵的求导

Posted 2022-06-11 血影雪梦

         本总结是是个人为防止遗忘而作，不得转载和商用。

         平时都是对一个数求导，那对向量求导呢？看下面的例子：

         假设有下面这样的矩阵A和向量X

                  

         我们很容易求出

                  

         现在另 y = A·X，那矩阵y对向量x求偏导的结果是多少？

         我们来分析一下，既然是矩阵y对向量x求偏导，那就的让矩阵y中的每一个元素对向量x中的每一个元素分布求偏导。

         我们一个个来

                   1，先求矩阵y的第一行第一个元素a₁₁x₁对向量x的第一个元素x₁的偏导，即求：

                            f(x₁)= a₁₁x₁

                   的导数，这个很简单

                            f’(x₁)= a₁₁

                   2，因为x是一个向量，所以我们让y中的每一个元素对x中的每一个元素求偏导啊，于是我们还得继续求a₁₁x₁对向量x的第二个元素x₂的偏导，即求：

                            f(x₂)= a₁₁x₁

                   的导数，这个很简单

                            f’(x₂)= 0

                   3，同理我们继续求....嗯？等等，接下来不用算了！为什么？因为矩阵y的第一行第一个元素a₁₁x₁中只有x₁，所以a₁₁x₁除了对向量x的第一个元素x₁之外的所有元素求偏导，其结果都是0！

                   4，于是y的第一行第一个元素a₁₁x₁对向量x求偏导的结果是a₁₁。

                   5，同理！可以求出：y的第一行第二个元素a₁₂x₂对向量x求偏导的结果是a₁₂，y的第一行第三个元素a₁₃x₃对向量x求偏导的结果是a₁₃。

                   6，总结起来就是：y的第i行第j列元素a_ijx_j对向量x求偏导的结果是a_ij，即：

                  

 

结论和推广

         就向上面那样，我们可以得出几个向量偏导公式：

                  

 标量对向量的导数

         如果 y = x^T·A·x的话，y对向量x求偏导的结果是

                  

         如果这时A有时对称阵，则：

                  

         PS：x^T·A·x其实是一个标量，也就是一个数。

 标量对方阵的导数