汉诺塔递归算法理解及实现

Posted 2022-06-08 岳飞传

汉诺塔：（Hanoi)是一种玩具，如图：

从左到右 A B C 柱 大盘子在下, 小盘子在上, 借助B柱将所有盘子从A柱移动到C柱, 期间只有一个原则: 大盘子只能在小盘子的下面.
问题理解与描述：
1．问题的理解与描述
问题的形式化表示为：
输入：圆盘数n，3根细杆—— 源杆A、过渡杆B和目标杆C。
输出：圆盘从源杆移动到目标杆过程的最少步骤序列。
2.算法的伪代码：

HANOI(n, A, B, C)
1 if n=1
2   then print A,"", C
3       return
4 HANOI(n-1,A, C, B)
5 print A,"", C
6 HANOI(n-1,B, A, C)

3.算法的运行时间：
对于盘数n，HANOI过程的运行时间

4 算法理解：
理解一：（参考：http://blog.csdn.net/yafei450225664/article/details/8647908）

案例 1 - 假设只有一个盘子的时候, 盘子数量 N=1
只有一个步骤 将第1个盘子从A移动到C, 为了对比方便我这样来描述这个步骤：
步骤 盘子编号 从柱子移动 移动到柱子
1 1 A C
案例 2 - 如果有两个盘子, 盘子数量 N = 2
步骤 盘子编号 从柱子移动 移动到柱子
1 1 A B
2 2 A C
3 1 B C
案例 3 - 如果有三个盘子, 盘子数量 N = 3
步骤 盘子编号 从柱子移动 移动到柱子
1 1　　　 A C
2 2　　　 A　　　　 B
3 1 C B
4 3 A C
5 1 B A
6 2 B C
7 1 A C
如何找出盘子移动的规律 ？
我们要做的最重要的一件事情就是永远要把最底下的一个盘子从 A 移动到 C
看看上面从1个盘子的移动到3个盘子的移动, 在移动记录中,当盘子的编号和盘子数量相同的时候他们的步骤都是从A移动到C (看加粗的部分),其它的步骤对等.
再观察第3个案例中的第 1-3 步 和 第 5-7步
第 1-3 步 目的是从 A 移动到 B 如果我们把 B 当作终点, 那么这里的第 1-3 步理解起来和 第2个案例的三个步骤完全相同, 都是通过一个柱子来移动,和第2个案例比起来在后面加括号来表示
1 1　　　 A C ( A -> B)
2 2　　　 A　 B ( A -> C)
3 1 C B ( B -> C)
总结：将盘子B变成C即可.
第 5-7 步 目的是从 B 移动到 C 如果我们把 C 当作终点, 那么这里的 5-7 步理解起来和上面也是一样的, 和第2个案例的三个步骤也完全相同.和第2个案例比起来就是:
5 1 B A ( A -> B)
6 2 B C ( A- > C)
7 1 A C ( B -> C)
总结: 将盘子B变成A即可
根据这个演示可以明确几点规律:
1. 当盘子只有一个的时候,只有一个动作 从 A 移动到 C 即结束.
2. 当有N个盘子的时候, 中间的动作都是从 A 移动到 C, 那么表示最下面的第N个盘子移动完毕
3. 中间动作之上都可以认为是: 从 A 移动到 B
4. 中间动作之下都可以认为是: 从 B 移动到 C
2，3，4 可以表示为
1 1 A B
2 2 A C
3 1 B C
理解二：（参考：http://blog.csdn.net/leo115/article/details/7991734）
美国的一位学者发现一种出人意料的简单的算法，只要轮流两步操作既可以实现：首先，把三张桌子按顺序首尾相接的排列，形成一个环，然后对A上的盘子开始移动，顺时针摆放成 A B C的顺序：
若n为奇数，圆盘的移动顺序是 A->C->B->A->C->B->A……… 即 间隔两个步长移动 。此处的n代表盘子位的层数，比如说 3 层汉诺塔就是从下往上数第1、3 个盘子移动的顺序。
若n为偶数，圆盘移动的顺序为A->B->C->A->B->C->A……….即 间隔一个步长移动。对n的解释同上 第二个盘子移动 A->B->C。
5.代码实现（c）：

/*************hanoi.c********************/
#include<stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include "hanoi.h"
/*************找x杆顶部盘的编号**********
输入参数：current[i]记录第i号盘所在的杆号
          x;杆的编号

输出参数：x杆顶部盘的编号
****************************************/

int pickTopDisk(char* current,char x)

    int i = 0;
    while (current[i] != x)
        i++;
    return i;

/*************汉诺塔**********
输入参数：current[i]记录第i号盘所在的杆号
          n:盘的数量
          A,B,C:杆的编号
****************************************/
void hanoi(char* current, int n, char A, char B, char C)

    static int cout = 0;  //static类型变量会在函数多次调用时保存改变的值，并且初始化操作仅做一次
    int i = 0;
    if (n==1)
    
        i = pickTopDisk(current, A);
        current[i] = C;
        cout++;
        printf("move %d disk %d: %c->%c\\n", cout, i + 1, A, C);
        return;
    
    hanoi(current, n - 1, A, C, B);
    current[n- 1] = C;
    cout++;
    printf("move %d disk %d: %c->%c\\n", cout, n, A, C);
    hanoi(current, n - 1, B, A, C);

/****************hanio.h************/
#ifndef _HANOI_H
#define _HANOI_H

#ifdef __cplusplus
extern "C" 
#endif // __cplusplus

    int pickTopDisk(char* current, char x);
    void hanoi(char* current, int n, char A, char B, char C);
#ifdef __cplusplus

#endif
#endif

/**************main.c************************/
#include <stdlib.h>
#include "hanoi.h"

int main(int argc, char** argv)

    char current[] =  'A', 'A', 'A', 'A' ;
    char A = 'A', B = 'B', C = 'C';
    hanoi(current, 4, A, B, C);
    system("pause");
    return EXIT_SUCCESS;

6运行结果：

参考：《算法设计、分析与实现：C、C++和Java》 徐子珊

开发者涨薪指南 48位大咖的思考法则、工作方式、逻辑体系