信号与系统分析2022春季作业-参考答案：第十三次作业
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§13 参考答案
1.1 系统频率特性
1.1.1 确定系统的幅频特性
（1） 系统函数具有两个极点，分别位于
p
1
=
−
2
,
p
2
=
−
3
p_1 = - 2,p_2 = - 3
p1=−2,p2=−3 。改系统可以看成两个低通滤波器串联。
H
1
(
s
)
=
1
(
s
+
2
)
(
s
+
3
)
,
R
e
[
s
]
>
−
2
H_1 \\left( s \\right) = 1 \\over \\left( s + 2 \\right)\\left( s + 3 \\right),\\,\\,\\,\\mathop\\rm Re\\nolimits \\left[ s \\right] > - 2
H1(s)=(s+2)(s+3)1,Re[s]>−2
▲ 图1.1.1 系统的零极点分布
下面使用Python中的系统仿真软件包给出系统的频率特性。
▲ 图1.1.2 系统的幅频特性和相频特性
from headm import *
from scipy.signal import bode
from scipy.signal import TransferFunction
sys = TransferFunction([1],[1,5,6])
w,mag,phase = bode(sys)
plt.subplot(2,1,1)
plt.semilogx(w, mag)
plt.xlabel("Frequency")
plt.ylabel("Magnitude")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.subplot(2,1,2)
plt.semilogx(w, phase)
plt.xlabel("Frequency")
plt.ylabel("Phase")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()
（2） 系统具有两个零点和两个极点。具体分布如下图所示：
H 2 ( s ) = s 2 s 2 + 2 s + 1 , R e [ s ] > − 1 H_2 \\left( s \\right) = s^2 \\over s^2 + 2s + 1,\\,\\,\\,\\mathop\\rm Re\\nolimits \\left[ s \\right] > - 1 H2(s)=s2+2s+1s2,Re[s]>−1
▲ 图1.1.3 系统的零极点分布
这个系统可以看成两个高通滤波串联。 下面给出系统的幅频特性和相频特性。
▲ 图1.1.4 系统的频率特性
sys = TransferFunction([1,0,0],[1,2,1])
w,mag,phase = bode(sys)
（3） 系统具有左右对称的零点和极点。 符合全通特性 的定义。
H 3 ( s ) = s 2 − s + 1 s 2 + s + 1 , R e [ s ] > − 1 2 H_3 \\left( s \\right) = s^2 - s + 1 \\over s^2 + s + 1,\\,\\,\\mathop\\rm Re\\nolimits \\left[ s \\right] > - 1 \\over 2 H3(s)=s2+s+1s2−s+1,Re[s]>−21
▲ 图1.1.5 系统的零极点分布
▲ 图1.1.6 系统的频率特性
from scipy.signal import bode
from scipy.signal import TransferFunction
sys = TransferFunction([1,-1,1],[1,1,1])
w,mag,phase = bode(sys)
plt.subplot(2,1,1)
plt.semilogx(w, mag)
plt.xlabel("Frequency")
plt.ylabel("Magnitude")
plt.axis([min(w), max(w), -1, 1])
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.subplot(2,1,2)
plt.semilogx(w, phase)
plt.xlabel("Frequency")
plt.ylabel("Phase")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()
1.1.2 确定系统的频率特性
（1） H ( z ) = 2 z z − 0.6 H\\left( z \\right) = 2z \\over z - 0.6 H(z)=z−0.62z
系统函数具有一个位于原点的零点，以及位于0.6处的极点。当 z = e j ω z = e^j\\omega z=ejω 在单位圆上从 1 到 -1 移动时，对应的极点复矢量逐步增加，造成幅频特性下降。 因此对应的是低通滤波器特性。该系统的零点与极点都位于单位圆内，所以相片呈现为最小相位系统， 根据复矢量几何特性可以分析处相频特性先减小、后增加。
▲ 图1.1.7 离散时间系统的零极点分布
▲ 图1.1.8 系统的幅频特性和相频特性
from headm import *
def hs(w):
z = exp(1j*w)
return 2*z/(z-0.6)
w = linspace(0, 2*pi, 500)
hw = hs(w)
hwabs = abs(hw)
hwangle = angle(hw)
plt.subplot(2,1,1)
plt.plot(w, hwabs, label='Amplitude')
plt.xlabel("Frequency")
plt.ylabel("Amplitude")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.subplot(2,1,2)
plt.plot(w, hwangle, label='Angle')
plt.xlabel("Frequency")
plt.ylabel("Phase")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()
（2） 系统具有一个二阶零点和一对共轭极点，分布如下图所示。根据极点所处在的位置， 在 ω = π / 2 \\omega = \\pi /2 ω=π/2 会存在峰值。 根据零点所处的位置， 在 ω = − π \\omega = - \\pi ω=−π 幅值处在低谷。 所以系统的幅频特性整体上符合“带通特性”。
该系统的零点位于单位圆外面， 所以系统不属于最小相位系统， 而是最大相位系统， 相角处于一直下降趋势。
H ( z ) = ( 0.96 + z − 1 ) 2 0.36 z − 2 + 1 H\\left( z \\right) = \\left( 0.96 + z^ - 1 \\right)^2 \\over 0.36z^ - 2 + 1 H(z)=0.36z−2+1(0.96+z−1)2
▲ 图1.1.9 离散时间系统的零极点分布
下面是使用Python绘制的系统的幅频特性和相频特性。从图中可以看出，由于极点距离单位圆不是特别近，所以带通特性不明显。单位圆外的零点距离单位圆比较近，整体上，该系统的幅频特性更接近于低通滤波器特性。
绘制的相频特性由于需要把相角限制在
±
π
\\pm \\pi
±π 之内，所以中间具有两次跳变，但从变化趋势上来看， 相位始终是下降的。
▲ 图1.1.10 系统的幅频特性和相频特性
1.1.3 绘制幅频特性和相频特性
◎ 求解： 为了给出 H ( s ) H\\left( s \\right) H(s) 频率特性比较准确的绘制， 将题目中的零极点位置按照比例定义它们的取值，然后通过Python程序绘制出对应的幅频特性与相频特性。 坐标采用 x-轴对数，y-轴对数方式进行绘制，也就是绘制出系统的波特图。
（a） 这是一个单个极点的
H
(
s
)
H\\left( s \\right)
H(s) ，假设
H
(
s
)
=
1
s
+
1
H\\left( s \\right) = 1 \\over s + 1
H
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