信号与系统2022春季作业-第14次作业
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§01 基础作业
1.1 离散傅里叶变换
1.1.1 数据采样参数
利用 FFT 处理器来计算采集数据的频谱。 要求频谱分析指标：
（1） 频率间的分辨率
f
1
≤
10
H
z
f_1 \\le 10Hz
f1≤10Hz ；
（2） 信号频谱中最高频率
f
M
A
X
≥
5
k
H
z
f_MAX \\ge 5kHz
fMAX≥5kHz ；
（3） 为了适应 FFT 算法， 采样数据点数
N
N
N 需要为 2 的整数次幂；
根据上述数据频谱分析指标要求， 试确定：
（1） 数据采样时间间隔
T
s
T_s
Ts ；
（2） 采样数据点数
N
N
N ；
1.1.2 频谱分析计算量
已知序列
x
[
n
]
x\\left[ n \\right]
x[n] 数据程度为 240；
h
[
n
]
h\\left[ n \\right]
h[n] 数据长度为 14。
（1） 直接使用（线）卷积计算
x
[
n
]
∗
h
[
n
]
x\\left[ n \\right] * h\\left[ n \\right]
x[n]∗h[n] ， 给出实数乘法次数和实数加法次数；
（2） 利用 基-2 快速傅里叶变换（即基于 2 分法设计快速傅里叶变换）完成
x
[
n
]
,
h
[
n
]
x\\left[ n \\right],h\\left[ n \\right]
x[n],h[n] 之间的线卷积， 所需要的实数乘法次数和加法次数；
（3） 比较以上结果， 并得到你的结论。
1.1.3 数据频谱分析时间
- 本题为思考题
序列 x [ n ] x\\left[ n \\right] x[n] 的长度为 4906。 已知一款单片机每次完成单精度实数乘法和加法所需要的时间为 20 μ s 20\\mu s 20μs 和 2.5 μ s 2.5\\mu s 2.5μs 。请分析直接计算 D F T x [ n ] DFT\\left\\ x\\left[ n \\right] \\right\\ DFTx[n] 和 F F T x [ n ] FFT\\left\\ x\\left[ n \\right] \\right\\ FFTx[n] 个需要多少时间？
1.1.4 对比线卷积与圆卷积
已知 x [ n ] , h [ n ] x\\left[ n \\right],h\\left[ n \\right] x[n],h[n] 的长度分别为 10,25。 它们的（线）卷积为 y 1 [ n ] = x [ n ] ∗ h [ n ] y_1 \\left[ n \\right] = x\\left[ n \\right] * h\\left[ n \\right] y1[n]=x[n]∗h[n]
下面利用 DFT 求它们之间长度为 25 的 圆卷积 y 2 [ n ] y_2 \\left[ n \\right] y2[n] 。先计算两个序列的DFT： X [ k ] = D F T x [ n ] X\\left[ k \\right] = DFT\\left\\ x\\left[ n \\right] \\right\\ X[k]=DFTx[n] ， H [ k ] = D F T h [ n ] H\\left[ k \\right] = DFT\\left\\ h\\left[ n \\right] \\right\\ H[k]=DFTh[n] ；再将两个序列的 DFT 相乘， Y [ k ] = X [ k ] ⋅ H [ k ] Y\\left[ k \\right] = X\\left[ k \\right] \\cdot H\\left[ k \\right] Y[k]=X[k]⋅H[k] ；最后通过 DFT 反变换 y 2 [ n ] = D F T − 1 Y [ k ] y_2 \\left[ n \\right] = DFT^ - 1 \\left\\ Y\\left[ k \\right] \\right\\ y2[n]=DFT−1Y[k] 。
试分析一下， 在 y 1 [ n ] , y 2 [ n ] y_1 \\left[ n \\right],y_2 \\left[ n \\right] y1[n],y2[n] 两个序列中， 相同取值的数据由多少个？
1.1.5 求两个序列反变换
- 本题问思考题
已知 x [ n ] , y [ n ] x\\left[ n \\right],y\\left[ n \\right] x[n],y[n] 为 N N N 点的实数序列， 它们的离散傅里叶变换为 X [ k ] = D F T x [ n ] , Y [ k ] = D F T y [ n ] X\\left[ k \\right] = DFT\\left\\ x\\left[ n \\right] \\right\\,\\,\\,Y\\left[ k \\right] = DFT\\left\\ y\\left[ n \\right] \\right\\ X[k]=DFTx[n],Y[k]=DFTy[n] 设计一个从 X [ k ] , Y [ k ] X\\left[ k \\right],Y\\left[ k \\right] X[k],Y[k] 求 x [ n ] , y [ n ] x\\left[ n \\right],y\\left[ n \\right] x[n],y[n] 的 N N N 点的离散傅里叶反变换的算法， 为了提高运算效率，要求改运算能够一次完成。
提示： 下面给出利用DFT同时完成两个实数序列的DFT计算过程。 仿照这个过程，大家设计同时求两个实数序列反变换过程。
x 1 [ k ] , x 2 [ k ] x_1 \\left[ k \\right],x_2 \\left[ k \\right] x1[k],x2[k] 是实序列，将其构成复序列 y [ k ] = x 1 [ k ] + j ⋅ x 2 [ k ] y\\left[ k \\right] = x_1 \\left[ k \\right] + j \\cdot x_2 \\left[ k \\right] y[k]=x1[k]+j⋅x2[k] D F T x 1 [ k ] + j ⋅ x 2 [ k ] = Y R以上是关于信号与系统2022春季作业-第14次作业的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
信号与系统分析2022春季作业-参考答案：第四次作业-第一部分