AVL平衡二叉树

Posted 2022-05-30 任我驰骋.

AVL树

• AVL树
• • AVL树的概念
  • AVL树节点的定义
  • AVL树的插入
  • AVL树的旋转
  • AVL树的验证
  • AVL树的性能

AVL树

AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
它的左右子树都是AVL树
左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在 ，搜索时间复杂度O(log2n)。

AVL树节点的定义

template<class T>
struct AVLTreeNode
 
	 AVLTreeNode(const T& data)
		 : _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
		 , _data(data), _bf(0)
	 
	 
	 AVLTreeNode<T>* _pLeft; // 该节点的左孩子
	 AVLTreeNode<T>* _pRight; // 该节点的右孩子
	 AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的双亲
	 T _data;
	 int _bf; // 该节点的平衡因子
 ;

AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：

1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
2. 调整节点的平衡因子

bool Insert(const T& data)

 // 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中
 // ...
 
 // 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性
 
 /*
 pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent
 的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：
 1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可
 2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可
 
 此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2
 1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此
时满足
 AVL树的性质，插入成功
 2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负
1，此
 时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新
 3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转
处理
 */
	 while (pParent)
	 
	 // 更新双亲的平衡因子
	 if (pCur == pParent->_pLeft)
		 pParent->_bf--;
	 else
	 	pParent->_bf++;
	 	
	 // 更新后检测双亲的平衡因子
	 if (0 == pParent->_bf)
	 	break;
	 	
	 else if (1 == pParent->_bf || -1 == pParent->_bf)
	 
		 // 插入前双亲的平衡因子是0，插入后双亲的平衡因为为1 或者 -1 ，说明以双亲为根的
		二叉树
		 // 的高度增加了一层，因此需要继续向上调整
		 pCur = pParent;
		 pParent = pCur->_pParent;
	 
	 else
	 
		 // 双亲的平衡因子为正负2，违反了AVL树的平衡性，需要对以pParent
		 // 为根的树进行旋转处理
			 if(2 == pParent->_bf)
			 
				 // ...
			 
			 else
			 
			  // ...
	 		
	 	
	 
	 return true;
 

AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

1. 新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋
   

/*
 上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左子树增
加
 了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加
一层，
 即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有右子
树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子
即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：
 1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
 2. 60可能是根节点，也可能是子树
 如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点
 如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树
 
同学们再此处可举一些详细的例子进行画图，考虑各种情况，加深旋转的理解
*/
void _RotateR(PNode pParent) 

	 // pSubL: pParent的左孩子
	 // pSubLR: pParent左孩子的右孩子，注意：该
	 PNode pSubL = pParent->_pLeft;
	 PNode pSubLR = pSubL->_pRight;
	 
	 // 旋转完成之后，30的右孩子作为双亲的左孩子
	 pParent->_pLeft = pSubLR;
	 // 如果30的左孩子的右孩子存在，更新亲双亲
	 if(pSubLR)
	 	pSubLR->_pParent = pParent;
	 	
	 // 60 作为 30的右孩子
	 pSubL->_pRight = pParent;
	  
	 // 因为60可能是棵子树，因此在更新其双亲前必须先保存60的双亲
	 PNode pPParent = pParent->_pParent;
	 
	 // 更新60的双亲
	 pParent->_pParent = pSubL;
	 
	 // 更新30的双亲
	 pSubL->_pParent = pPParent;
	 
	 // 如果60是根节点，根新指向根节点的指针
	 if(NULL == pPParent)
	 
		 _pRoot = pSubL;
		 pSubL->_pParent = NULL;
	 
	 else
	 
		 // 如果60是子树，可能是其双亲的左子树，也可能是右子树
		 if(pPParent->_pLeft == pParent)
		 	pPParent->_pLeft = pSubL;
		 else
		 	pPParent->_pRight = pSubL;
	 
	 
	 // 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子
	 pParent->_bf = pSubL->_bf = 0; 

2. 新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋
   

	void RotateLeft(Node* parent)
	
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		parent->_right = subRL;
		// 注意：类似右单支的情况，即subRL可能会为空
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;

		subR->_left = parent;

		// 更新parent和subR的双亲
		Node* pparent = parent->_parent;
		parent->_parent = subR;
		subR->_parent = pparent;

		// 处理pparent
		if (nullptr == pparent)
		
			// 说明旋转之前，parent是根节点，旋转完成之后，subR就是新的根
			_root = subR;
		
		else
		
			// 说明旋转之前，parent是子树，parent可能是pparent的左子树或者右子树
			if (parent == pparent->_left)
				pparent->_left = subR;
			else
				pparent->_right = subR;
		

		// 更新parent和subR的平衡因子
		parent->_bf = subR->_bf = 0;
	

3. 新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋
   
   将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新。

// 旋转之前，60的平衡因子可能是-1/0/1，旋转完成之后，根据情况对其他节点的平衡因子进行调整
void _RotateLR(PNode pParent) 

	 PNode pSubL = pParent->_pLeft;
	 PNode pSubLR = pSubL->_pRight;
 
	 // 旋转之前，保存pSubLR的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节点的平
	衡因子
	 int bf = pSubLR->_bf;
	 
	 // 先对30进行左单旋
	 _RotateL(pParent->_pLeft);
	 
	 // 再对90进行右单旋
	 _RotateR(pParent);
	 
	 if(1 == bf)
	 	pSubL->_bf = -1;
	 else if(-1 == bf)
	 	pParent->_bf = 1; 

4. 新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋
   

	void RoateRL(Node* parent)
	
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;

		RotateRight(parent->_right);
		RotateLeft(parent);

		if (1 == bf)
			parent->_bf = -1;
		else if (-1 == bf)
			subR->_bf = 1;
	

总结：

假如以pParent为根的子树不平衡，即pParent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑

1. pParent的平衡因子为2，说明pParent的右子树高，设pParent的右子树的根为pSubR
   当pSubR的平衡因子为1时，执行左单旋
   当pSubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋
2. pParent的平衡因子为-2，说明pParent的左子树高，设pParent的左子树的根为pSubL
   当pSubL的平衡因子为-1是，执行右单旋
   当pSubL的平衡因子为1时，执行左右双旋
   旋转完成后，原pParent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

1. 验证其为二叉搜索树
   如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树
2. 验证其为平衡树
   每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
   节点的平衡因子是否计算正确

int _Height(PNode pRoot);
bool _IsBalanceTree(PNode pRoot) 

	 // 空树也是AVL树
	 if (nullptr == pRoot) return true;
	 
	 // 计算pRoot节点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差
	 int leftHeight = _Height(pRoot->_pLeft);
	 int rightHeight = _Height(pRoot->_pRight);
	 int diff = rightHeight - leftHeight;
	 
	 // 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者
	 // pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树
	 if (diff != pRoot->_bf || (diff > 1 || diff < -1))
	 return false;
	 
	 // pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树
	 return _IsBalanceTree(pRoot->_pLeft) && _IsBalanceTree(pRoot->_pRight);
 

AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即log2（N） 。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

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