备战数学建模13-优劣解距离法TOPSIS模型

Posted 2022-05-06 nuist__NJUPT

目录

一、TOPSIS法

1-基本概念

2-TOPSIS方法的具体步骤

二、TOPSIS法的应用案例

1-案例题目

2-TOPSIS主程序

3-正向化处理函数

4-极小型转换为极大型的函数

5-中间型转换为极大型的函数

6-区间型转换为极大型的函数

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一、TOPSIS法

1-基本概念

TOPSIS法可以翻译为逼近理想解排序法，国内称为优劣解距离法，TOPSIS法是一种常用的综合评价方法，其能充分应用原始数据的的信息，其结果能精确的反映各评价方案之间的差距。

我们之前学习了层次分析法去作评价，但是层次分析法有如下缺点：

第一，n不能太大，最多只能是15，否则不能通过一致性检验，RI只能查到n=15的值。

第二，层次分析法的判断矩阵是主观填写的，如果题目中已有相关数据，不适合用层次分析法作为评价模型。

2-TOPSIS方法的具体步骤

下面介绍通过正向化将极小型转换为极大型指标，具体如下：

 下面介绍如何将中间型指标转换为极大型指标，具体如下：

下面学习区间型转换成极大型指标，具体如下：

 正向化之后我们需要进行标准化处理，消除量纲的影响，具体如下：

标准化处理数据后，计算得分并作归一化处理，具体如下：

 

注意：上述指标默认每个指标的权重一样，如果考虑指标权重的话，得到的公式如下所示：

最后一句话有误，是Di+越小，越接近最大值。

权重确定的方法：客观法：变异系数法，熵权法；主观法：层次分析法的三种求权重方式

二、TOPSIS法的应用案例

1-案例题目

看一下下面的题目，含氧量是极大型指标，PH值是中间型指标，细菌总数是极小型指标，植物性营养物量是区间型指标。

MATLAB代码如下所示：

2-TOPSIS主程序

%主程序
clear; clc
load('data_water_quality.mat') ;

%正向化处理，全部转换成极大型
[n,m] = size(X) ;
disp(['一共有' num2str(n) '个评价对象，' num2str(m) '个评价指标']) ;

position = [2,3,4] ; %需要正向化处理的指标所在的列
type = [2,1,3] ; %三个类型分别是中间型、极小型、区间型

for i = 1 : size(position, 2)
    x1(:,position(i)) = Positivization(X(:,position(i)),type(i),position(i));
end
disp('正向化后的矩阵 = ') ;
disp(x1) ;


%对正向化处理后的矩阵进行标准化处理
z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1);
disp('标准化矩阵 = ') ;
disp(z) ;

disp('需要给指标加相应的权重？需要输入1，不需要输入2') ;
judge2 = input('请输入1或者2：') ;
%计算与最大值和最小值的距离，计算得分，并降序排序
if judge2 == 2
D1 = sum((z - repmat(max(z),n,1)) .^ 2 ,2) .^ 0.5;   
D2 = sum((z - repmat(min(z),n,1)) .^ 2,2) .^ 0.5; 
end
if judge2 == 1
    w = input('请按照向量形式输入各个指标权重：') ;
    D1 = sum(repmat(w,n,1) .* (z - repmat(max(z),n,1)) .^ 2 ,2) .^ 0.5;   
    D2 = sum(repmat(w,n,1) .* (z - repmat(min(z),n,1)) .^ 2,2) .^ 0.5; 
end
    
s = D2 ./ (D1 + D2) ;
disp('最后的得分：') ;
ss = s / sum(s) ;
disp(ss) ;
[s1, I] = sort(ss, 1, 'descend') ;
disp('最后的排名由高到底依次是：') ;
disp(I) ;

3-正向化处理函数

function [position_x] = Positivization(x, type, i)
if type == 1
    position_x = min_max(x) ;
end
if type == 2 
    best = 7 ;
    position_x = mid_max(x,best) ;
end
if type == 3
    left = 10 ;
    right = 20 ;
    position_x = inter_max(x,left,right) ;
end
end

4-极小型转换为极大型的函数

function [position_x] = min_max(x)
position_x = max(x) - x ;
end

5-中间型转换为极大型的函数

function [positon_x] = mid_max(x, best)
M = max(abs(x-best)) ;
positon_x = 1 - abs(x-best) / M ;
end

6-区间型转换为极大型的函数

function [position_x] = inter_max(x, left, right)
row = size(x, 1) ;
M = max([left - min(x),max(x) - right]) ;
position_x = zeros(row, 1) ;

for i = 1 : row 
    if x(i) < left 
        position_x(i) = 1 - (left - x(i)) / M ;
    else if x(i) > right 
         position_x(i) = 1 - (x(i) - right) / M ;
    else
      position_x(i) = 1 ;
        end
    end
end
end