[联合省选2022]最大权独立集问题
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了[联合省选2022]最大权独立集问题相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
最大权独立集问题
题解
相当有趣的一道dp题。
我考场上全花时间去搞前两题了，T3只rush了一个暴力，亏大分。
首先我们可以考虑将原来的边交换的条件转化一下。
相当于我们要给每一个点规定一条不经过重复点的有向路径，使得所有点的路径加起来可以覆盖满整棵树。
显然，我们很容易通过这得到一种
d
p
dp
dp的思路。
可以发现，从子树节点的父亲往子树内覆盖的路径只会有一条，从子树内向父亲传递的点也只会有一个。
所以我们
d
p
dp
dp时不妨就记录这个路径回到哪一个点，子树内向上传递又会传递哪一个点。
显然，在一个点上我们需要枚举的就是选择边的顺序，是先父边，先左儿子，还是先右儿子，通过这从底向上转移。
但这样的话我们的
d
p
dp
dp状态总数是会达到
n
3
n^3
n3的，貌似不太能过的样子。
但不要着急，显然，传递到的点与向上传递的点不会在一棵子树内，该状态只会出现在这两个点的
l
c
a
lca
lca处。
所以，我们的状态数实际上是
n
2
n^2
n2的。
但我们上面的
d
p
dp
dp状态是可以继续被优化的，因为最后被传递到的位置我们真正关心的只有它的深度，我们把这个深度记到状态里面即可。
好的，我们现在
d
p
u
,
x
,
d
dp_u,x,d
dpu,x,d表示我们现在对于点
u
u
u的子树内，我们将会把点
x
x
x传到它的父亲去，并且父亲传下来的点往下传长度为
d
d
d的路径。
通过考虑边交换的执行顺序，容易得到
d
p
dp
dp转移式：
d
p
u
,
u
,
d
1
=
d
p
l
s
o
n
,
x
,
d
1
−
1
+
d
p
r
s
o
n
,
y
,
d
2
+
(
d
2
+
2
)
v
a
l
x
+
v
a
l
y
d
p
u
,
u
,
d
1
=
d
p
r
s
o
n
,
x
,
d
1
−
1
+
d
p
l
s
o
n
,
y
,
d
2
+
(
d
2
+
2
)
v
a
l
x
+
v
a
l
y
d
p
u
,
x
,
d
1
=
d
p
l
s
o
n
,
x
,
d
2
+
d
p
r
s
o
n
,
y
,
d
1
−
1
+
(
d
2
+
1
)
v
a
l
u
+
v
a
l
y
+
v
a
l
x
d
p
u
,
x
,
d
1
=
d
p
r
s
o
n
,
x
,
d
2
+
d
p
l
s
o
n
,
y
,
d
1
−
1
+
(
d
2
+
1
)
v
a
l
u
+
v
a
l
y
+
v
a
l
x
d
p
u
,
x
,
0
=
d
p
l
s
o
n
,
y
,
d
1
+
d
p
r
s
o
n
,
x
,
d
2
+
(
d
1
+
1
)
v
a
l
u
+
(
d
2
+
2
)
v
a
l
y
+
v
a
l
x
d
p
u
,
x
,
0
=
d
p
r
s
o
n
,
y
,
d
1
+
d
p
l
s
o
n
,
x
,
d
2
+
(
d
1
+
1
)
v
a
l
u
+
(
d
2
+
2
)
v
a
l
y
+
v
a
l
x
dp_u,u,d_1=dp_lson,x,d_1-1+dp_rson,y,d_2+(d_2+2)val_x+val_y\\\\ dp_u,u,d_1=dp_rson,x,d_1-1+dp_lson,y,d_2+(d_2+2)val_x+val_y\\\\ dp_u,x,d_1=dp_lson,x,d_2+dp_rson,y,d_1-1+(d_2+1)val_u+val_y+val_x\\\\ dp_u,x,d_1=dp_rson,x,d_2+dp_lson,y,d_1-1+(d_2+1)val_u+val_y+val_x\\\\ dp_u,x,0=dp_lson,y,d_1+dp_rson,x,d_2+(d_1+1)val_u+(d_2+2)val_y+val_x\\\\ dp_u,x,0=dp_rson,y,d_1+dp_lson,x,d_2+(d_1+1)val_u+(d_2+2)val_y+val_x
dpu,u,d1=dplson,x,d1−1+dprson,y,d2+(d2+2)valx+valydpu,u,d1=dprson,x,d1−1+dplson,y,d2+(d2+2)valx+valydpu,x,d1=dplson,x,d2+dprson,y,d1−1+(d2+1)valu+valy+valxdpu,x,d1=dprson,x,d2+dplson,y,d1−1+(d2+1)valu+valy+valxdpu,x,0=dplson,y,d1+dprson,x,d2+(d1+1)valu+(d2+2)valy+valx以上是关于[联合省选2022]最大权独立集问题的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
hdu 1569 &1565 (二分图带权最大独立集 - 最小割应用)