从抛物线的焦点发出的光线经反射后平行于轴的证明

Posted 2023-03-28

用导数的方法，还有什么时候学那个反三角函数

用导数啊，抛物线x^2=2py，焦点F(0，p/2)，对称轴是y轴 A点为坐标原点时，显然成立 A点为其它点时，设A[m，m^2/(2p)]是抛物线上一点，dy/dx=1/(2p)*2x=x/p，过A点切线斜率为m/p 故法线斜率为-p/m，法线方程y-m^2/(2p)= -p/m(x-m) 根据反射性质，反射光线与入射光线关于法线对称，求出焦点关于法线的对称点B坐标，然后A与B连线 对称点B坐标这样求，FB被法线垂直平分，斜率就=切线斜率，故FB方程y-p/2=m/px， FB与法线交点是FB中点，求出其坐标(m/2，m^2/(2p)+p/2] 故B点坐标可求[m，m^2/p+p/2] A与B的横坐标相同，纵坐标不同，所以AB与y轴平行 所以获证 参考技术A 回答

由抛物线定义：抛物线B是到直线A于焦点F距离相等得点的轨迹。由光的性质知道平面光源A发出的光是平行光，如图所示。根据光程定理如果从焦点F处光源M发出的光经抛物线反射所走的光程等于平面光源A发出光走的光程，则在反射后会变成平行光。事实上由于抛物线上的点到焦点F和直线A距离相等，光程总是相等的所以结论成立！

参考技术B

如何用平面几何证明从抛物线的焦点发出的光线经抛物线反射会成为平行线

是平面几何!!!!

由抛物线定义：抛物线B是到直线A于焦点F距离相等得点的轨迹。

由光的性质知道平面光源A发出的光是平行光，如图所示。根据光程定理如果从焦点F处光源M发出的光经抛物线反射所走的光程等于平面光源A发出光走的光程，则在反射后会变成平行光。

事实上由于抛物线上的点到焦点F和直线A距离相等，光程总是相等的所以结论成立！

参考技术A 抛物线可以用y^2=2px（p>0）而不影响其任意性
焦点P（p/2，0）,任意一点A（y^2/2p,y）
y>0,讨论抛物线上部分，因为对称不影响任意性
这一点对y^2=2px两边对x求导得y'=p/y,则过这一点得切线斜率
就为p/y，与x轴夹角为arctan（p/y）;
而线段PA的斜率为y/(y^2/2p-p/2)与x轴夹角为
arctan（y/(y^2/2p-p/2)）;与过点A的水平线夹角为
pi－arctan（y/(y^2/2p-p/2)），
则与切线的夹角为pi-(pi－arctan（y/(y^2/2p-p/2)))-arctan（p/y）
等于arctan（y/(y^2/2p-p/2))-arctan（p/y）设其为◎
则tan(@)=tan(两角差)
＝y/(y^2/2p-p/2)-p/y/1+(y/(y^2/2p-p/2))*(p/y)化简得
＝y/(y^2/2p-p/2)-p/y/1+p/(y^2/2p-p/2)
＝y-p/y*(y^2/2p-p/2)/y^2/2p-p/2+p
＝y/2+p^2/2y/y^2/2p+p/2
＝p/y
所以可以得到水平线和AP连线与点A的切线夹角恒等
就易得其入射角等于反射角
反射光线全是平行与x轴的 所以都会成平行线