最长上升子序列（贪心+二分）

Posted 2022-04-19 4nc414g0n

最长上升子序列（二）

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题目描述：（贪心+二分，dp+二分）
给定一个长度为 n 的数组a，求它的最长严格上升子序列的长度。
所谓子序列，指一个数组删掉一些数（也可以不删）之后，形成的新数组。例如 [1,5,3,7,3] 数组，其子序列有：[1,3,3]、[7] 等。但 [1,6]、[1,3,5] 则不是它的子序列。
我们定义一个序列是 严格上升 的，当且仅当该序列不存在两个下标 i 和 j 满足i<j 且 a_i<=a_j
输入：
[1,4,7,5,6]
输出：
4

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思路：

1. 注意：dfs不能过
   
2. 单dp也会超时
   当a[i]比a[j]大时，相当于长度比dp[j]时的状态加一,为dp[j]+1,状态转移方程： dp[i]=max(dp[j]+1,dp[i]);

for(int i=0;i<a.size();i++)

   for(int j=0;j<i;j++)
       if(a[i]>a[j])
           dp[i]=max(dp[j]+1,dp[i]);

3. 使用贪心加二分查找
贪心：我们要使上升子序列尽可能的长，则我们需要让序列上升得尽可能慢，因此我们希望每次在上升子序列最后加上的那个数尽可能的小
   另开辟一个升序数组tail，用来表示这个最长的升序子序列，变量end记录tail的尾部index
   ① 当index==0或者arr[index]>tail.back()的时候，直接将arr[index]加在tail最后面
   ② 当arr[index]<tail.back()，使用二分查找在tail数组里找到第一个大于arr[index]的元素，将arr[index]赋给它
   返回end+1即为最长升序子序列个数

代码如下：

int BSearch(int left, int right, vector<int>& tail,int num)
   
       while(left<right)
       
           int mid=(left+right)/2;
           if(tail[mid]>num)
               right=mid;
           else
               left=mid+1; 
       
       return left;
   
   int LIS(vector<int>& a) 
       if(a.empty())
           return 0;
       vector<int> tail(a.size());
       int end=-1;
       for(int i=0;i<a.size();i++)
       
           if(i==0||tail[end]<a[i])
           
               end++;
               tail[end]=a[i];
           
           else
               tail[BSearch(0,end,tail,a[i])]=a[i];
       
       return end+1;
   

4. 使用dp加二分查找
   更简洁的写法参考：300. 最长递增子序列（动态规划 + 二分查找，清晰图解）