全排列的编码与解码——康托展开 (附完整代码)

Posted 2022-03-23 synapse7

一、康托展开：全排列到一个自然数的双射

X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0!

ai为整数，并且0<=ai<i(1<=i<=n)

 适用范围：没有重复元素的全排列

二、全排列的编码：

1,2,3,4,...,n的排列总共有n!种，将它们从小到大排序，怎样知道其中一种排列是有序序列中的第几个？

如 1,2,3 按从小到大排列一共6个：123 132 213 231 312 321。想知道321是1,2,3中第几个大的数。

这样考虑：第一位是3，小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位，小于2的数只有一个就是1 ，所以有1*1!=1 所以小于32

的1,2,3排列数有2*2!+1*1!=5个。所以321是第6个大的数。2*2!+1*1!是康托展开。（注意判断排列是第几个时要在康托展开的结果后+1）

再举个例子：1324是1,2,3,4排列数中第几个大的数：第一位是1小于1的数没有，是0个，0*3!，第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，所以只有一个数2，1*2! 。第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，所以有0个数，0*1!，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个，1324是第三个大数。

又例如，排列3 5 7 4 1 2 9 6 8展开为98884，因为X=2*8!+3*7!+4*6!+2*5!+0*4!+0*3!+2*2!+0*1!+0*0!=98884.

解释：

排列的第一位是3，比3小的数有两个，以这样的数开始的排列有8!个，因此第一项为2*8!

排列的第二位是5，比5小的数有1、2、3、4，由于3已经出现，因此共有3个比5小的数，这样的排列有7!个，因此第二项为3*7!

以此类推，直至0*0!

#include<cstdio>
const int fac[] = 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320;///阶乘

int KT(int s[], int n)

	int i, j, cnt, sum;
	sum = 0;
	for (i = 0; i < n; ++i)
	
		cnt = 0;
		for (j = i + 1; j < n; ++j)
			if (s[j] < s[i]) ++cnt;
		sum += cnt * fac[n - i - 1];
	
	return sum;


int main()

	int a[] = 3, 5, 7, 4, 1, 2, 9, 6, 8;
	printf("%d\\n", 1 + KT(a, sizeof(a) / sizeof(*a))); ///1+98884

三、全排列的解码

如何找出第16个（按字典序的）1,2,3,4,5的全排列？

1. 首先用16-1得到15

2. 用15去除4! 得到0余15

3. 用15去除3! 得到2余3

4. 用3去除2! 得到1余1

5. 用1去除1! 得到1余0

有0个数比它小的数是1，所以第一位是1

有2个数比它小的数是3，但1已经在之前出现过了所以是4

有1个数比它小的数是2，但1已经在之前出现过了所以是3

有1个数比它小的数是2，但1,3,4都出现过了所以是5

最后一个数只能是2

所以排列为1 4 3 5 2

#include<cstdio>
#include<cstring>
const int fac[] = 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320;///阶乘

bool vis[10];

///n为ans大小，k为全排列的编码
void invKT(int ans[], int n, int k)

	int i, j, t;
	memset(vis, 0, sizeof(vis));
	--k;
	for (i = 0; i < n; ++i)
	
		t = k / fac[n - i - 1];
		for (j = 1; j <= n; j++)
			if (!vis[j])
			
				if (t == 0) break;
				--t;
			
		ans[i] = j, vis[j] = true;
		k %= fac[n - i - 1];///余数
	


int main()

	int a[10];
	invKT(a, 5, 16);
	for (int i = 0; i < 5; ++i)
		printf("%d ", a[i]);///1 4 3 5 2