漫步线性代数二十——快速傅里叶变换（下）

Posted 2022-03-22 会敲键盘的猩猩

快速傅里叶变换

傅里叶分析是一个很美妙的理论，而且它还很实用。在频域分析波形可以很好的将信号分离开来，相反的过程又能回到时域中。处于物理和数学的缘故，指定实用指数函数，我们感觉最主要的原因就是：如果我们对$e^ikx$求导、积分或将$x$变成$x+h$，结果依然是$e^ikx$的倍数，指数函数非常适用于微分方程，积分方程和差分方程，每个频域分量有自己的运作方式，就像特征值一样，然后阿门重新组合得到问题的解。信号的分析和合成(从$y$中计算$c$，从$c$中计算$y$)是科学计算的中心问题。

我们想要展示$Fc,F^-1y$计算非常快，关键点就是$F_4$到$F_2$的关系：

$$F_4= \\beginbmatrix 1&1&1&1\\\\ 1&i&i^2&i^3\\\\ 1&i^2&i^4&i^6\\\\ 1&i^3&i^8&i^9 \\endbmatrix \\text接近 F_2^*= \\beginbmatrix 1&1&&\\\\ 1&-1&&\\\\ &&1&1\\\\ &&1&-1 \\endbmatrix$$

$F_4$包含$w_4=i$，1的四次根，$F_2^*$包含$w_2=-1$，1的平方根。注意$F_2^*$有一半的元素都是零，做两次$2\\times 2$的变换仅需要直接进行$4\\times 4$变换时间的一半，如果$64\\times 64$变化可以用两个$32\\times 32$变换替换，那么运行时间将减少一般。之所有能够如此，原因在于$w_64$ 和$w_32$之间存在一个简单的联系：

(w64)2=w32,或者(e2πi/64)2=快速傅里叶变换学习笔记

[算法模板]FFT-快速傅里叶变换

[傅里叶变换及其应用学习笔记] 二十七. 高维傅里叶变换，复习

[傅里叶变换及其应用学习笔记] 二十八. 高维移位定理

数字信号处理傅里叶变换性质 ( 傅里叶变换线性性质 | 傅里叶变换时移性质 )

数字信号处理傅里叶变换性质 ( 傅里叶变换线性性质 | 傅里叶变换时移性质 )