2021-2022-2 ACM集训队每周程序设计竞赛 - 问题 E: 宝藏开箱者 - 题解

Posted 2022-03-15 Tisfy

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• • 宝藏开箱者
  • • 题目描述
    • 输入描述
    • 输出描述
    • 样例一
    • • 输入
      • 输出
    • 样例二
    • • 输入
      • 输出
    • 样例三
    • • 输入
      • 输出
• 题目分析
• AC代码

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宝藏开箱者

• 宝藏开箱者

时间限制：1秒
空间限制：128M

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题目描述

有 $N$ 个锁着的宝箱，编号分别是 $1\sim N$

商店里销售 $M$ 种钥匙，第 $i$ 种钥匙售价 $a_i$ ￥，能解锁 $b_i$ 个宝箱。能解锁的宝箱编号分别是：$c_{i_1},c_{i_1},...,c_{i_{b_i}}$。每把钥匙能用任意次数。

那么请问要解锁这所有的 $N$ 个宝箱，买钥匙最少花费多少钱呢？ 如果买完所有的钥匙都不能打开所有的宝箱，就输出-1。

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输入描述

N M
a1 b1
c11 c12 ... c1b1
:
aM bM
cM1 cM2 ... cMbM

数据范围：

• $1\le N\le 12$
• $1\le M\le 10^3$
• $1\le a_i\le 10^5$
• $1\le b_i\le N$
• $1\le c_{i_1}<c_{i_2}<...<c_{i_{b_i}}\le N$
• 所有输入的数都是整数

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输出描述

输出一行一个正整数，代表解锁所有的箱子至少花费的金额。若无解输出-1。

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样例一

输入

2 3
10 1
1
15 1
2
30 2
1 2

输出

25

可以只买第1个和第3个钥匙，花费25元

样例二

输入

12 1
100000 1
2

输出

-1

样例三

输入

4 6
67786 3
1 3 4
3497 1
2
44908 3
2 3 4
2156 3
2 3 4
26230 1
2
86918 1
3

输出

69942

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题目分析

本题可以使用状态压缩的动态规划。

一个“状态”(数字)的二进制的第$i$位代表第$i-1$个宝箱是否被开启。

$dp[state]$代表达到状态$state$至少需要花费多少钱。

第一层枚举$m$个钥匙。对于钥匙i，我们可以计算出钥匙i的“状态”码$thisState$，然后从$0$到$1<<n$枚举所有现有的“状态”$nowState$，如果购买钥匙i就能达到状态$toState(=nowState|thisState)$，需要金钱是现在的$金钱+钥匙i的售价(dp[nowState]+item[i])$。

状态转移方程：$dp[toState]=min(dp[toState],dp[nowState]+money[item])$;

初始状态$dp[0]=0$（什么宝箱都不解锁需要花费的钥匙钱为$0$）

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AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mem(a) memset(a, 0, sizeof(a))
#define dbg(x) cout << #x << " = " << x << endl
#define fi(i, l, r) for (int i = l; i < r; i++)
#define cd(a) scanf("%d", &a)
typedef long long ll;

int dp[1 << 12];
vector<int> keys[1000];
int money[1000];

int main() 
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < (1 << n); i++)
        dp[i] = 1e9;
    dp[0] = 0;
    for (int i = 0; i < m; i++) 
        int a, b;
        scanf ("%d%d", &a, &b);
        money[i] = a;
        for (int j = 0; j < b; j++) 
            int t;
            scanf("%d", &t);
            t--;  // 把输入的宝箱号[1,n]映射成方便状态压缩的[0,n-1]
            keys[i].push_back(t);
        
    
    for (int item = 0; item < m; item++) 
        int thisState = 0;
        for (int t : keys[item]) 
            thisState |= (1 << t);
        
        for (int nowState = 0; nowState < (1 << n); nowState++) 
            int toState = nowState | thisState;
            dp[toState] = min(dp[toState], dp[nowState] + money[item]);
        
    
    cout << (dp[(1 << n) - 1] == 1e9 ? -1 : dp[(1 << n) - 1]) << endl;
    return 0;

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