方差、协方差与相关系数的关系方程

Posted 2023-03-23

随机变量：ξ
0，数学期望：Eξ
1，方差：若E(ξ-Eξ)^2存在，则称 Dξ=E(ξ-Eξ)^2为随机变量ξ的方差；称√Dξ为ξ的标准差。
2，协方差：给定二维随机变量 ξ (ξ1, ξ2)，若：E[(ξ1-Eξ1)(ξ2-Eξ2)]存在，则称其为随机变量
(ξ1，ξ2)的协方差，记为：cov(ξ1，ξ2)=E[(ξ1-Eξ1)(ξ2-Eξ2)]
3，记：r(ξ1，ξ2)=cov(ξ1，ξ2)/[Dξ1Dξ2]^0.5
=E[(ξ1-Eξ1)(ξ2-Eξ2)] / [Dξ1Dξ2]^0.5 （Dξ1，Dξ2均大于零）
称：上式为ξ1，ξ2的‘相关系数’或‘标准协方差’。
4，以上可知方差、协方差、相关系数之间的相互关系。 参考技术A 两个变量的协方差除以他们的方差乘积的算术平方根等于这两个变量的线性相关系数 参考技术B 期望其实就是一组数的平均值协方差是建立在方差分析和回归分析基础之上的一又称皮（尔生）氏积矩相关系数，说明两个现象之间相关关系密切程度的统计分析

有关协方差和相关系数的计算问题

参考技术A 实际上协方差的公式是这样表达的：cov(A，B)=stdA*stdB*cor(A，B)
其中stdA为资产组合A的标准差，stdB为资产组合B的标准差，cor(A，B)为资产组合A和B之间的相关系数。
（你提供的协方差=相关系数*Var1*Var2公式并不正确，若要这样表达应为协方差=相关系数*(Var1*Var2)^(1/2)）
故此根据上述的式子和数据可得cov(A，B)=stdA*stdB*cor(A，B)=2.24%*2.24%*1=0.0005
注意对于协议差的计算应该要忽略两个组合之间的所占的投资比例，原因是协议差的计算并不涉及相关比例的问题，而对于两个投资组合的方差则要考虑到投资所占比例问题，原因是在这个计算中投资比例会影响方差的结果，这是两个投资组合的方差公式：
VAR(A，B)=x^2*varA+(1-x)^2*varB+2x(1-x)*cov(A，B)
注：X为投资组合A所占的投资比例，故此投资组合了相应的投资比例为1-X 参考技术B 协方差计算公式为：cov(x，y)=e(xy)-e(x)e(y)。
随机变量x和y的（线性）相关系数ρ(x,
y)
=cov(x，y)/(√d(x)*√d(y))，
d(x)=var(x)为x的方差。
x、y的联合概率密度函数为：
f(x,
y)=
2,
00,
其它。
x的密度函数为f1(x)=int(f(x,
y),
y=x..1)=2(1-x)，
int(f(x,
y),
y=x..1)表示对函数f(x,
y)积分，积分变量为y，y范围是x到1。（下同）。因为在文本状态下写积分实在太麻烦了。
y的密度函数为f2(y)=int(f(x,
y),
x=0..y)=2y，
e(x)=int(f1(x)*x,
x=0..1)=1/3，
e(y)=int(f2(y)*y,
y=0..1)=2/3，
d(x)=int(f1(x)*(x-e(x))^2,
x=0..1)=int((x-1/3)^2*2*(1-x),
x=0..1)=1/18，
d(y)=int(f2(y)*(y-e(y))^2,
x=0..1)=int((y-2/3)^2*2*y,
y=0..1)=1/18，
e(xy)=int(int(x*y*f(x,y),
y=x..1),
x=0..1)=1/4，
cov(x，y)=e(xy)-e(x)e(y)=1/4-1/3*2/3=1/36，
ρ(x,
y)
=cov(x，y)/(√d(x)*√d(y))=1/36/sqrt(1/18*1/18)=1/2。