数字信号处理线性时不变系统 LTI “ 输入 “ 与 “ 输出 “ 之间的关系 ( 线性卷积计算方法列举 | 线性卷积计算案例一 | 根据 线性卷积 定义直接计算 卷积 )

Posted 2022-02-26 韩曙亮

文章目录

• 一、线性卷积计算方法
• 二、线性卷积计算示例一 ( 直接法 )

一、线性卷积计算方法

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线性卷积计算方法 :

• 直接法 : 根据 线性卷积 定义 直接计算 ;
• 图解法 :
• 不进位乘法 :
• 编程计算 :

二、线性卷积计算示例一 ( 直接法 )

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给定如下两个序列 :

$x(n)=1,-1,2{}_{[0,2]}$

$h(n)=3,0,-1{}_{[0,2]}$

求 $y(n)=x(n)\ast h(n)$ ;

$x(n)$ 可以表示成如下序列 :

$$x(n)=\delta (n)-\delta (n-1)+2\delta (n-2)$$

当输入为 $\delta (n)$ 时 , 输出为 $h(n)=3,0,-1$ ;

$$\delta (n)\to h(n)=3,0,-1$$

当输入为 $-\delta (n-1)$ 时 , 输出为 $-h(n-1)$ , 先将 $h(n)$ 右移一位变为 $h(n-1)=0,3,0,-1$ , 然后再将其取负 $-h(n-1)=0,-3,0,1$ ;

$$\delta (n)\to -h(n-1)=0,-3,0,1$$

当输入为 $2\delta (n-2)$ 时 , 输出为 $2h(n-2)$ , 先将 $h(n)$ 右移 2 位变为 $h(n-2)=0,0,3,0,-1$ , 然后再将其乘以 2 得到 $2h(n-2)=0,0,6,0,-2$ ;

$$2\delta (n-2)\to 2h(n-2)=0,0,6,0,-2$$

$$x(n)=\delta (n)-\delta (n-1)+2\delta (n-2)$$

对应的输出序列 :

$$y(n)=h(n)-h(n-1)+2h(n-2)$$

$3,0,-1$
$0,-3,0,1$
$0,0,6,0,-2$

三个序列相加的结果是 $3,-3,5,1,-2$ , $n$ 的取值范围是 $0$ ~ $4$ ;

线性时不变 系统中 , 先变换后移位 与 先移位后变换 得到的 输出序列 是相同的 ;

最终结果为 :

$$y(n)=h(n)-h(n-1)+2h(n-2)=3,-3,5,1,-2{}_{[0,4]}$$

上述 根据 " 线性卷积 " 定义 , 直接计算 ;

" 输出序列 " 等于 " 输入序列 " 与 " 系统单位脉冲响应 " 的卷积 ;

输入序列为 : $x(n)=\delta (n)-\delta (n-1)+2\delta (n-2)$

系统脉冲响应为 : $h(n)=3,0,-1{}_{[0,2]}$

输出序列 : 就是 $x(n)\ast y(n)$ 的卷积 ;

这里求出 " 输出序列 " 即可得到 $x(n)\ast y(n)$ 的卷积结果 ;