乘法逆元入门

Posted 2022-02-23 ZSYL

乘法逆元入门（四种方法及补充）

• 前言
• 逆元
• 费马小定理
• 递归
• 线性递推

前言

在一些题目中，因为数据量会特别大甚至超过long long，所以会要求最后结果mod一个数，实际上就是让你在计算过程中就要不断mod。

对于加法：$(a+b)\%m=(a\%m+b\%m)\%m$
对于减法：$(a-b)\%m=(a\%m-b\%m)\%m$
对于乘法：$(a\ast b)\%m=(a\%m\ast b\%m)\%m$

但是这个规则在除法不适用：简单例子比如$(\frac{30}{7})\%2$。

我们一般遇到除法 (a/b)%MOD的时候，会将除法变为乘法，用到了“逆元”的思想。

逆元

当求解公式：(a/b)%m 时，因b可能会过大，会出现爆精度的情况，所以需变除法为乘法：

设c是b的逆元，则有b*c≡1(mod m);

则(a/b)%m = (a/b)*1%m = (a/b)*b*c%m = a*c(mod m);

例如：$b=10,m=3$时，$c=4$

令$a=20,(20/10)\%3=2,(20\ast 4)\%3=2$
令$a=40,(40/10)\%3=1,(40\ast 4)\%3=1$

现在我们要求$(a/b)\%m$,可以找到一个$c$使得$(a/b)\%m=(a\ast c)\%m$.

费马小定理

如果$p$是一个质数，而整数$a$不是$p$的倍数，则有$a^{p-1}\equiv 1(mod)p$

所以可得：$a^{p-2}\equiv a^{-1}（modp）$

换成代码如下：

(a/b)%m
(a*pow(b,m-2))%m

这里还需要快速幂来配合计算：

ll quick_pow(ll x,ll n,ll m)

	ll res = 1;
	while(n > 0)
	
		if(n & 1)
            res = res * x % m;
		x = x * x % m;
		n >>= 1;
	
	return res;
  
ll inv(ll a)

    return quick_pow(a, mod - 2, mod);

递归

当m是质数，inv(a) = (m - m / a) * inv(m % a) % m，暴力反向递归

ll inv2(ll a,ll m)//代入a%m m

    return a==1?1:(m-m/a)*inv2(m%a,m)%m;

线性递推

求关于一个m的多个逆元，道理差不多:

ll m=3;
ll inv[m+5];
void inv3(ll m)

    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<m;i++)
        inv[i]=(m-m/i)*inv[m%i]%m;

参考：Link

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