数据结构与算法之深入解析“不同路径III”的求解思路与算法示例

Posted 2022-02-19 Serendipity·y

一、题目要求

• 在二维网格 grid 上，有 4 种类型的方格：
• • 1 表示起始方格。且只有一个起始方格；
• • 2 表示结束方格，且只有一个结束方格；
• • 0 表示我们可以走过的空方格；
• • -1 表示我们无法跨越的障碍。
• 返回在四个方向（上、下、左、右）上行走时，从起始方格到结束方格的不同路径的数目。
• 每一个无障碍方格都要通过一次，但是一条路径中不能重复通过同一个方格。
• 示例 1：

输入：[[1,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,2,-1]]
输出：2
解释：我们有以下两条路径：
1. (0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(1,2),(1,1),(1,0),(2,0),(2,1),(2,2)
2. (0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(1,2),(2,2)

• 示例 2：

输入：[[1,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,2]]
输出：4
解释：我们有以下四条路径： 
1. (0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(1,2),(1,1),(1,0),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3)
2. (0,0),(0,1),(1,1),(1,0),(2,0),(2,1),(2,2),(1,2),(0,2),(0,3),(1,3),(2,3)
3. (0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(2,2),(1,2),(1,1),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(2,3)
4. (0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(1,2),(2,2),(2,3)

• 示例 3：

输入：[[0,1],[2,0]]
输出：0
解释：
没有一条路能完全穿过每一个空的方格一次。
请注意，起始和结束方格可以位于网格中的任意位置。

• 提示：1 <= grid.length * grid[0].length <= 20。

二、求解算法

① 回溯深度优先搜索

• 尝试遍历每一个 0 方格，并在走过的方格里留下一个障碍。回溯的时候，要删除那些自己留下的障碍。
• 介于输入数据的限制，这个方法是可以通过的，因为一个不好的路径很快就会因没有无障碍的方格可以走而被卡住。
• Java 示例：

class Solution 
    int ans;
    int[][] grid;
    int tr, tc;
    int[] dr = new int[]0, -1, 0, 1;
    int[] dc = new int[]1, 0, -1, 0;
    int R, C;

    public int uniquePathsIII(int[][] grid) 
        this.grid = grid;
        R = grid.length;
        C = grid[0].length;

        int todo = 0;
        int sr = 0, sc = 0;
        for (int r = 0; r < R; ++r)
            for (int c = 0; c < C; ++c) 
                if (grid[r][c] != -1) 
                    todo++;
                

                if (grid[r][c] == 1) 
                    sr = r;
                    sc = c;
                 else if (grid[r][c] == 2) 
                    tr = r;
                    tc = c;
                
            

        ans = 0;
        dfs(sr, sc, todo);
        return ans;
    

    public void dfs(int r, int c, int todo) 
        todo--;
        if (todo < 0) return;
        if (r == tr && c == tc) 
            if (todo == 0) ans++;
            return;
        

        grid[r][c] = 3;
        for (int k = 0; k < 4; ++k) 
            int nr = r + dr[k];
            int nc = c + dc[k];
            if (0 <= nr && nr < R && 0 <= nc && nc < C) 
                if (grid[nr][nc] % 2 == 0)
                    dfs(nr, nc, todo);
            
        
        grid[r][c] = 0;
    

② 动态规划

• 定义 dp(r, c, todo) 为从 (r, c) 开始行走，还没有遍历的无障碍方格集合为 todo 的好路径的数量。可以使用一个与方法①类似的方法，并通过记忆化状态 (r, c, todo) 的答案来避免重复搜索。
• Java 示例：

class Solution 
    int ans;
    int[][] grid;
    int R, C;
    int tr, tc, target;
    int[] dr = new int[]0, -1, 0, 1;
    int[] dc = new int[]1, 0, -1, 0;
    Integer[][][] memo;

    public int uniquePathsIII(int[][] grid) 
        this.grid = grid;
        R = grid.length;
        C = grid[0].length;
        target = 0;

        int sr = 0, sc = 0;
        for (int r = 0; r < R; ++r)
            for (int c = 0; c < C; ++c) 
                if (grid[r][c] % 2 == 0)
                    target |= code(r, c);

                if (grid[r][c] == 1) 
                    sr = r;
                    sc = c;
                 else if (grid[r][c] == 2) 
                    tr = r;
                    tc = c;
                
            

        memo = new Integer[R][C][1 << R*C];
        return dp(sr, sc, target);
    

    public int code(int r, int c) 
        return 1 << (r * C + c);
    

    public Integer dp(int r, int c, int todo) 
        if (memo[r][c][todo] != null)
            return memo[r][c][todo];

        if (r == tr && c == tc) 
            return todo == 0 ? 1 : 0;
        

        int ans = 0;
        for (int k = 0; k < 4; ++k) 
            int nr = r + dr[k];
            int nc = c + dc[k];
            if (0 <= nr && nr < R && 0 <= nc && nc < C) 
                if ((todo & code(nr, nc)) != 0)
                    ans += dp(nr, nc, todo ^ code(nr, nc));
            
        
        memo[r][c][todo] = ans;
        return ans;