378. 有序矩阵中第 K 小的元素Normal二分查找

Posted 2022-02-13 pre_eminent

题目:

给你一个 n x n 矩阵 matrix ，

其中每行和每列元素均按升序排序，

找到矩阵中第 k 小的元素。
请注意，它是 排序后 的第 k 小元素，而不是第 k 个 不同 的元素。

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示例 1：

输入：matrix = [[1,5,9],[10,11,13],[12,13,15]], k = 8
输出：13
解释：矩阵中的元素为 [1,5,9,10,11,12,13,13,15]，第 8 小元素是 13

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示例 2：

输入：matrix = [[-5]], k = 1
输出：-5

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提示：

n == matrix.length
n == matrix[i].length
1 <= n <= 300
-10^9 <= matrix[i][j] <= 10^9
题目数据 保证 matrix 中的所有行和列都按 非递减顺序 排列
1 <= k <= n^2

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思路:

由题目给出的性质可知，

这个矩阵内的元素是从左上到右下递增的（假设矩阵左上角为 matrix[0][0]）。

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我们知道整个二维数组中 matrix[0][0]为最小值，matrix[n - 1][n - 1]为最大值，

现在我们将其分别记作 l 和 r。

可以发现一个性质：

任取一个数 mid 满足 l <= mid  <= r，那么矩阵中不大于 mid 的数，

肯定全部分布在矩阵的左上角。

例如下图，取 mid=8：

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可以这样描述走法：

初始位置在 matrix[n - 1][0]（即左下角）；

设当前位置为 matrix[i][j]。

若 matrix[i][j] ≤mid，则将当前所在列的不大于 mid 的数的数量（即 i + 1）累加到答案中，并向右移动，否则向上移动；

不断移动直到走出格子为止。

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我们发现这样的走法时间复杂度为 O(n)，即我们可以线性计算对于任意一个 mid，矩阵中有多少数不大于它。这满足了二分查找的性质。

不妨假设答案为 x，那么可以知道l≤x≤r，这样就确定了二分查找的上下界。

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每次对于「猜测」的答案 mid，计算矩阵中有多少数不大于 mid ：

如果数量不少于 k，那么说明最终答案 x 不大于 mid；
如果数量少于 k，那么说明最终答案 x 大于 mid。
这样我们就可以计算出最终的结果 x 了。

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解答：

/**
 * @param number[][] matrix
 * @param number k
 * @return number
 */
var kthSmallest = function(board, k) 
    let n = board.length;
    
    // 左上角最小
    let l = board[0][0];
    // 右下角最大
    let r = board[n - 1][n - 1];
    
    // 二分模板
    while(l < r)
        let mid = l + Math.floor((r - l)/2);
        // 下面三行，固定写法
        if(isMoreThanK(k, board, mid))
           // 收敛右边界
           r = mid;
         else 
            // 为啥要加1???
            l = mid + 1;
        
    
    return l;
;

// 统计个数
function isMoreThanK(k, board, mid)
    let n = board.length;
    // 统计每一列小于mid的总数
    let count = 0;
    // 从左下角开始
    let row = n - 1;
    let col = 0;
    while(row >= 0 && col < n)
        // 如果小于等于，那么往右走，并且统计该列
        if(board[row][col] <= mid)
            // 向右走
            col++;
            // 为啥要+1，因为下标从0开始算
            count += row + 1;
         else 
            // 否则，往上走
            row--;
        
    
    // 为啥要等于
    return count >= k;