数据结构 哈希表建立

Posted 2023-03-19

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哈希表及其应用
一、定义
二、基本原理
哈希表的基本原理是：使用一个下标范围比较大的数组A来存储元素，设计一个函数h，对于要存储的线性表的每个元素node，取一个关键字key，算出一个函数值h(key)，把h(key)作为数组下标，用A[h(key)]这个数组单元来存储node。也可以简单的理解为，按照关键字为每一个元素“分类”，然后将这个元素存储在相应“类”所对应的地方（这一过程称为“直接定址”）。
但是，不能够保证每个元素的关键字与函数值是一一对应的，因此极有可能出现对于不同的元素，却计算出了相同的函数值，这样就产生了“冲突”，换句话说，就是把不同的元素分在了相同的“类”之中。例如，假设一个结点的关键码值为key，把它存入哈希表的过程是：根据确定的函数h计算出h(key)的值，如果以该值为地址的存储空间还没有被占用，那么就把结点存入该单元；如果此值所指单元里已存了别的结点（即发生了冲突），那么就再用另一个函数I进行映象算出I(h(key)),再看用这个值作为地址的单元是否已被占用了，若已被占用，则再用I映象，……，直到找到一个空位置将结点存入为止。当然这只是解决“冲突”的一种简单方法，如何避免、减少和处理“冲突”是使用哈希表的一个难题。
在哈希表中查找的过程与建立哈希表的过程相似，首先计算h(key)的值，以该值为地址到基本区域中去查找。如果该地址对应的空间未被占用，则说明查找失败，否则用该结点的关键码值与要找的key比较，如果相等则检索成功，否则要继续用函数I计算I(h(key))的值，……。如此反复到某步或者求出的某地址空间未被占用（查找失败）或者比较相等（查找成功）为止。
三、基本概念和简单实现
1、两个集合：U是所有可能出现的关键字集合；K是实际存储的关键字集合。
2、函数h将U映射到表T[0..m-1]的下标上，可以表示成 h：U→0，1，2，...，m-1，通常称h为“哈希函数(Hash Function)”，其作用是压缩待处理的下标范围，使待处理的|U|个值减少到m个值，从而降低空间开销（注：|U|表示U中关键字的个数，下同）。
3、将结点按其关键字的散列地址存储到哈希表（散列表）中的过程称为“散列(Hashing)”。方法称为“散列法”。
4、h(Ki)(Ki∈U)是关键字为Ki的结点的“存储地址”，亦称散列值、散列地址、哈希地址。
5、用散列法存储的线性表称为“哈希表（Hash Table）”，又称散列表。图中T即为哈希表。在散列表里可以对结点进行快速检索（查找）。
6、对于关键字为key的结点，按照哈希函数h计算出地址h(key)，若发现此地址已被别的结点占用，也就是说有两个不同的关键码值key1和key2对应到同一个地址，即h(key1)=h(key2)，这个现象叫做“冲突（碰撞）”。碰撞的两个（或多个）关键码称为“同义词”（相对于函数h而言）。如图1中的关键字k2和k5，h(k2)=h(k5)，即发生了“冲突”，所以k2和k5称为“同义词”。假如先存了k2，则对于k5，我们可以存储在h(k2)+1中，当然h(k2)+1要为空，否则可以逐个往后找一个空位存放。这是另外一种简单的解决冲突的方法。
发生了碰撞就要想办法解决，必须想办法找到另外一个新地址，这当然要降低处理效率，因此我们希望尽量减少碰撞的发生。这就需要分析关键码集合的特性，找适当的哈希函数h使得计算出的地址尽可能“均匀分布”在地址空间中。同时，为了提高关键码到地址转换的速度，也希望哈希函数“尽量简单”。然而对于各种取值的关键码而言，一个好的哈希函数通常只能减少碰撞发生的次数，无法保证绝对不产生碰撞。因此散列除去要选择适当的哈希函数以外，还要研究发生碰撞时如何解决，即用什么方法存储同义词。
7、负载因子
我们把h(key)的值域所对应到的地址空间称为“基本区域”，发生碰撞时，同义词可以存放在基本区域还没有被占用的单元里，也可以放到基本区域以外另开辟的区域中（称为“溢出区”）。下面引入散列的一个重要参数“负载因子或装填因子(Load Factor)”，它定义为：
а=
负载因子的大小对于碰撞的发生频率影响很大。直观上容易想象，а越大，散列表装得越满，则再要载入新的结点时碰上已有结点的可能性越大，冲突的机会也越大。特别当а＞1时碰撞是不可避免的。一般总是取а＜1，即分配给散列表的基本区域大于所有结点所需要的空间。当然分配的基本区域太大了也是浪费。例如，某校学生干部的登记表，每个学生干部是一个结点，用学号做关键码，每个学号用7位数字表示，如果分配给这个散列表的基本区域为107个存储单元，那么散列函数就可以是个恒等变换，学号为7801050的学生结点就存入相对地址为7801050的单元，这样一次碰撞也不会发生，但学校仅几百个学生干部，实际仅需要几百个单元的空间，如果占用了107个存储单元，显然太浪费了，所以这是不可取的。负载因子的大小要取得适当，使得既不过多地增加碰撞，有较快的检索速度，也不浪费存储空间。
下面结合引例说明一下上面的思想和方法。
【例1】用散列存储线性表：A=（18，75，60，43，54，90，46）。
分析：
假定选取的散列函数为：h(K)=K mod m，K为元素的关键字，m为散列表的长度，用余数作为存储该元素的散列地址。这里假定K和m均为正整数，并且m要大于等于线性表的长度n。此例n=7，故假定取m=13，则得到的每个元素的散列地址为：
h(18)=18 mod 13=5 h(75)=75 mod 13 =10 h(60)=60 mod 13=8
h(43)=43 mod 13=4 h(54)=54 mod 13=2 h(90)=90 mod 13=12
h(46)=46 mod 13=7
根据散列地址按顺序把元素存储到散列表H（0：m-1）中，存储映象为：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

54 43 18 46 60 75 90
当然这是一个比较理想的情况。假如再往表中插入第8个元素30，h(30)=30 mod 13=4，我们会发现H[4]已经存了43，此时就发生了冲突。我们可以从H[4]往后按顺序找一个空位置存放30，即可以把它插入到H[6]中。

四、哈希函数的构造方法
选择适当的哈希函数是实现散列的重中之重，构造哈希函数有两个标准：简单和均匀。简单是指哈希函数的计算要简单快速；均匀是指对于关键字集合中的任一关键字，哈希函数能以等概率将其映射到表空间的任何一个位置上。也就是说，哈希函数能将子集K随机均匀地分布在表的地址集0，1，...，m-1上，以使冲突最小化。
为简单起见，假定关键码是定义在自然数集合上，常见的哈希函数构造方法有：
1、直接定址法
以关键字Key本身或关键字加上某个数值常量C作为散列地址的方法。散列函数为：h(Key)= Key+C，若C为0，则散列地址就是关键字本身。

2、除余法
选择一个适当的正整数m，用m去除关键码，取其余数作为地址，即：h(Key)= Key mod m，这个方法应用的最多，其关键是m的选取,一般选m为小于某个区域长度n的最大素数（如例1中取m=13），为什么呢？就是为了尽力避免冲突。假设取m=1000 ，则哈希函数分类的标准实际上就变成了按照关键字末三位数分类，这样最多1000类，冲突会很多。一般地说，如果 m 的约数越多，那么冲突的几率就越大。
简单的证明：假设m是一个有较多约数的数，同时在数据中存在q满足gcd(m,q)=d >1 ，即有m=a*d,q=b*d,则有以下等式：q mod m= q – m* [q div m] =q – m*[b div a] 。
其中，[b div a]的取值范围是不会超过[0，b]的正整数。也就是说，[b div a]的值只有b+1种可能，而m是一个预先确定的数。因此上式的值就只有b+1种可能了。这样，虽然mod 运算之后的余数仍然在[0，m-1]内，但是它的取值仅限于等式可能取到的那些值。也就是说余数的分布变得不均匀了。容易看出，m的约数越多，发生这种余数分布不均匀的情况就越频繁，冲突的几率越高。而素数的约数是最少的，因此我们选用大素数。记住“素数是我们的得力助手”。

3、数字分析法
常有这样的情况：关键码的位数比存储区域的地址的位数多，在这种情况下可以对关键码的各位进行分析，丢掉分布不均匀的位留下分布均匀的位作为地址。
本方法适用于所有关键字已知，并对关键字中每一位的取值分布情况作出了分析。
【例2】对下列关键码集合（表中左边一列）进行关键码到地址的转换，要求用三位地址。
Key H(Key)
000319426 326
000718309 709
000629443 643
000758615 715
000919697 997
000310329 329

分析：
关键码是9位的，地址是3位的，需要经过数字分析丢掉6位。丢掉哪6位呢？显然前3位是没有任何区分度，第5位1太多、第6位基本都是8和9、第7位都是3、4、5，这几位的区分度都不好，而相对来说，第4、8、9位分布比较均匀，所以留下这3位作为地址（表中右边一列）。

4、平方取中法
将关键码的值平方，然后取中间的几位作为散列地址。具体取多少位视实际要求而定，取哪几位常常结合数字分析法。
【例3】将一组关键字(0100，0110，1010，1001，0111)平方后得(0010000，0012100，1020100，1002001，0012321)，若取表长为1000，则可取中间的三位数作为散列地址集：
(100，121，201，020，123)。

5、折叠法
如果关键码的位数比地址码的位数多，而且各位分布较均匀，不适于用数字分析法丢掉某些数位，那么可以考虑用折叠法。折叠法是将关键码从某些地方断开，分关键码为几个部分，其中有一部分的长度等于地址码的长度，然后将其余部分加到它的上面，如果最高位有进位，则把进位丢掉。
一般是先将关键字分割成位数相同的几段（最后一段的位数可少一些），段的位数取决于散列地址的位数，由实际需要而定，然后将它们的对应位叠加和（舍去最高位进位）作为散列地址。
【例4】如关键码Key=58422241，要求转换为3位的地址码。
分析：分如下3段：5 8 4 | 2 2 2 | 4 1，则相加：
5 8 4
2 2 2
4 1
8 4 7
h(Key)=847

6、基数转换法
将关键码值看成在另一个基数制上的表示，然后把它转换成原来基数制的数，再用数字分析法取其中的几位作为地址。一般取大于原来基数的数作转换的基数，并且两个基数要是互质的。如：key=(236075)10是以10为基数的十进制数，现在将它看成是以13为基数的十三进制数(236075)13,然后将它转换成十进制数。
（236075）13=2*135+3*134+6*133+7*13+5
=(841547)10
再进行数字分析，比如选择第2,3,4,5位，于是h(236075)=4154

五、哈希表支持的运算
哈希表支持的运算主要有：初始化(makenull)、哈希函数值的运算(h(x))、插入元素(insert)、查找元素(member)。设插入元素的关键字为 x ，A 为哈希表，则各种运算过程如下：

1、初始化比较容易，例如：
const empty=maxlongint; 用非常大的整数代表这个位置没有存储元素
p=9997; 根据需要设定的表的大小
procedure makenull;
var i:integer;
begin
for i:=0 to p-1 do A[i]:=empty;
End;

2、哈希函数值的运算，根据函数的不同而变化，例如除余法的一个例子：
function h(x:longint):Integer;
begin
h:= x mod p;
end;

3、我们注意到，插入和查找首先都需要对这个元素定位，因此加入一个定位的函数 locate：
function locate(x:longint):integer;
var orig,i:integer;
begin
orig:=h(x);
i:=0;
while (i<P)and(A[(orig+i)mod P]<>x)and(A[(orig+i)mod P]<>empty) do inc(i);
当这个循环停下来时，要么找到一个空的存储单元，
要么找到这个元素存储的单元，要么表已经满了
locate:=(orig+i) mod P;
end;

4、插入元素：
procedure insert(x:longint);
var posi:integer;
begin
posi:=locate(x); 定位函数的返回值
if A[posi]=empty then A[posi]:=x
else error; error 即为发生了错误，当然这是可以避免的
end;

5、查找元素是否已经在表中：
procedure member(x:longint):boolean;
var pos:integer;
begin
pos:=locate(x);
if A[pos]=x then member:=true
else member:=false;
end;本回答被提问者采纳