2016年第七届蓝桥杯 - 省赛 - C/C++大学A组 - H. 四平方和

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题目

四平方和

四平方和定理,又称为拉格朗日定理:
每个正整数都可以表示为至多4个正整数的平方和。
如果把0包括进去,就正好可以表示为4个数的平方和。

比如:
5 = 02 + 02 + 12 + 22
7 = 12 + 12 + 12 + 22
(^符号表示乘方的意思)

对于一个给定的正整数,可能存在多种平方和的表示法。
要求你对4个数排序:
0 <= a <= b <= c <= d
并对所有的可能表示法按 a,b,c,d 为联合主键升序排列,最后输出第一个表示法

程序输入为一个正整数N (N<5000000)
要求输出4个非负整数,按从小到大排序,中间用空格分开

例如,输入:
5
则程序应该输出:
0 0 1 2

再例如,输入:
12
则程序应该输出:
0 2 2 2

再例如,输入:
773535
则程序应该输出:
1 1 267 838

资源约定:
峰值内存消耗 < 256M
CPU消耗 < 3000ms

请严格按要求输出,不要画蛇添足地打印类似:“请您输入…” 的多余内容。

所有代码放在同一个源文件中,调试通过后,拷贝提交该源码。

注意: main函数需要返回0
注意: 只使用ANSI C/ANSI C++ 标准,不要调用依赖于编译环境或操作系统的特殊函数。
注意: 所有依赖的函数必须明确地在源文件中 #include , 不能通过工程设置而省略常用头文件。

提交时,注意选择所期望的编译器类型。

Ideas

首先,因为n = a2 + b2 + c2 + d2,所以 a , b , c , d < n a,b,c,d < \\sqrtn a,b,c,d<n

然后因为N<5000000,所以我们必须要保证算法的时间复杂度在O(nlogn)以内。

所以四层暴力循环肯定会超时的,对于 n \\sqrtn n 的循环我们最多只能有两层。

那么我们就想怎么能把四层循环拆成两层,然后还得保证算法的时间复杂度在O(nlogn)以内。

对于 n \\sqrtn n 的循环我们最多只能有两层,也就是说循环的时间复杂度就达到了O(n),符合小于O(nlogn)的限制。

那么怎么拆成两个循环呢?

前两个循环:我们可以先枚举两个比较大的数c和d,然后把所有 c 2 + d 2 c^2 + d^2 c2+d2的结果都存储到一个哈希表中,key就是 c 2 + d 2 c^2 + d^2 c2+d2,value就是(c, d)。

后两个循环:枚举a和b,然后我们判断 n u m − ( a 2 + b 2 ) num - (a^2 + b^2) num(a2+b2)的结果是否在集合中,如果在的话,那就说明我们找到了答案。

Code

Python

def solve(num):
	hash_table = dict()
	for c in range(int(num ** 0.5) + 1):
		for d in range(c, int(num ** 0.5) + 1):  # d可以从c开始枚举
			val = c ** 2 + d ** 2
			if not hash_table.get(val, None):
				hash_table[val] = f"c d"
	for a in range(int(num ** 0.5) + 1):
		for b in range(a, int(num ** 0.5) + 1):
			val = hash_table.get(num - a ** 2 - b ** 2)
			if val:
				print(f"a b val")
				return


if __name__ == '__main__':
	solve(int(input()))

在线评测:https://www.acwing.com/problem/content/1223/

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