概率论复习笔记
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了概率论复习笔记相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
一、
1、贝叶斯公式
（相当于全概率公式的反运算）
定理：
假设
A
1
.
.
A
n
A_1..A_n
A1..An为完备事件组，假设
B
B
B为任意事件，
P
(
A
i
)
>
0
P(A_i)>0
P(Ai)>0，
P
(
B
)
>
0
P(B)>0
P(B)>0，
P
(
A
k
∣
B
)
=
P
(
A
k
B
)
P
(
B
)
P(A_k|B)=\\fracP(A_kB)P(B)
P(Ak∣B)=P(B)P(AkB)
2、事件独立性
定理：事件
A
,
B
A,B
A,B独立的充要条件为
P
(
A
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
)
P(AB)=P(A)P(B)
P(AB)=P(A)P(B)
若
P
(
A
)
=
0
或
P
(
B
)
=
0
P(A)=0或P(B)=0
P(A)=0或P(B)=0，则事件
A
,
B
A,B
A,B独立
结论：不可能事件与必然事件对任意事件
A
A
A独立
定理：
若A,B独立，则
!
A
,
!
B
，
!
A
,
B
，
A
,
!
B
!A,!B，!A,B，A,!B
!A,!B，!A,B，A,!B都独立
独立与互不相容不同时成立
3、伯努利模型
独立实验序列：
E
1
,
E
2
,
E
3
.
.
.
E
n
E_1,E_2,E_3...E_n
E1,E2,E3...En，相互独立的实验
n重独立实验：
E
,
E
,
E
.
.
E
E,E,E..E
E,E,E..E，相同的相互独立实验，记作
E
n
E^n
En
伯努利实验：实验结果只有两种
n重伯努利实验：n次，独立，实验结果只有两种
定理：
P
(
k
)
=
C
n
k
∗
p
k
∗
(
1
−
p
)
(
n
−
k
)
P(k)=C_n^k*p^k*(1-p)^(n-k)
P(k)=Cnk∗pk∗(1−p)(n−k)
二、
1、频率密度直方图
·小长方形的面积是该组的频率
·所有小长方形面积之和为1
2、连续性随机变量及其密度函数
定义：
非负可积函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)，
f
(
x
)
>
0
f(x)>0
f(x)>0，
P
(
a
<
X
≤
b
)
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
P(a<X\\leq b)=\\int_a^b f(x)\\,dx
P(a<X≤b)=∫abf(x)dx，则f(x)为概率分布密度函数。
性质：
·
∫
−
∞
+
∞
f
(
x
)
d
x
=
1
\\int_-\\infty^+\\infty f(x)\\,dx = 1
∫−∞+∞f(x)dx=1
·个别点的概率为0（所以概率为0的事件不一定是不可能事件）
·端点无所谓（概率为1的时事件不一定是必然事件）
3、分布函数
定义：
设
X
X
X为随机变量，
x
x
x为任意实数，令
F
(
x
)
=
P
(
X
<
=
x
)
F(x)=P(X<=x)
F(x)=P(X<=x)，称
F
(
x
)
F(x)
F(x)为
X
X
X的分布函数。
性质：
·
F
(
x
)
=
∫
−
∞
x
f
(
t
)
d
t
F(x)=\\int_-\\infty^xf(t)\\,dt
F(x)=∫−∞xf(t)dt
·分布函数一定是连续的
离散型随机变量的分布
4、0-1分布
只有两种结果
5、几何分布
第
k
k
k次首次发生，前
k
−
1
k-1
k−1次不发生
P
(
X
=
k
)
=
(
1
−
p
)
k
−
1
∗
p
P(X=k)=(1-p)^k-1*p
P(X=k)=(1−p)k−1∗p
记作
X
～
G
(
p
)
X～G(p)
X～G(p)
6、二项分布
P
(
A
)
=
p
P(A)=p
P(A)=p，
n
n
n次试验，发生了
k
k
k次
P
(
X
=
k
)
=
C
n
k
∗
p
k
∗
(
1
−
p
)
n
−
k
P(X=k)=C_n^k*p^k*(1-p)^n-k
P(X=k)=Cnk∗pk∗(1−p)n−k
记作
X
～
B
(
n
,
p
)
X～B(n,p)
X～B(n,p)
·01分布是二项分布的特例
·最可能值：若
(
n
+
1
)
∗
p
(n+1)*p
(n+1)∗p不是整数，对其向下取整
若是整数，最可能值为
(
n
+
1
)
∗
p
(n+1)*p
(n+1)∗p、
(
n
+
1
)
∗
p
−
1
(n+1)*p-1
(n+1)∗p−1
7、泊松分布
P
(
x
=
k
)
=
λ
k
k
!
e
−
λ
P(x=k)=\\frac\\lambda^kk!e^-\\lambda
P(x=k)=k!λke−λ
二项分布可以用泊松分布近似，当
n
n
n比较大，
p
p
p比较小的时候可以近似
(
n
>
=
100
，
n
∗
p
<
=
10
)
(n>=100，n*p<=10)
(n>=100，n∗p<=10)，其中
λ
=
n
p
\\lambda=np
λ=np
8、超几何分布
不放回抽样试验
连续性随机变量的分布 以上是关于概率论复习笔记的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
9、均匀分布
f
(
x
)
=
1
b
−
a
a
≤
x
≤