可算把「素数」玩明白了

Posted 2022-02-05 Linux猿

tags:

篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了可算把「素数」玩明白了相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

🎈 作者：Linux猿

🎈 简介：CSDN博客专家🏆，华为云享专家🏆，Linux、C/C++、云计算、物联网、面试、刷题、算法尽管咨询我，关注我，有问题私聊！

🎈 关注专栏：关注🥇 大学算法成神路 🥇专栏不迷路，优质好文持续更新中……🚀

在算法的学习过程中，素数问题一直是一个热点，关于素数的题目非常多。本篇文章就来讲解下素数以及如何求解素数。

猿哥一直秉承知其然知其所以然的态度分享知识，下面先来看一下素数的定义。

🍓一、什么是素数

素数是指在大于 1 的自然数中，除了 1 和本身外无法被其它自然数整除的数，即：只有 1 和本身两个正因数，也被称为质数。

例如：10 以内的素数包括 2，3，5，7，它们都只能被 1 和本身整除。

现在明白了什么是素数，下面就来判断一个数是不是素数。

// 100 以内的素数
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

🔶🔶🔶 我是华丽的分割线 🔶🔶🔶

🍓二、判断素数

判断素数的方法有很多，下面来介绍三种常见的方法，一种是根据定义判断一个数是否是素数，另一种是开方的方法，还有一种是线性筛法。

🚩2.1 定义法

假设判断 n 是否是素数，定义法是依次判断从 2 ~ n-1 是否可以整除 n。如果存在可以整除的数，则 n 为合数，否则为素数，是不是和定义一样呀！

代码如下所示。

bool isPrime(int n) 
    if(n <= 3) // 简化操作
        return true;
    for(int i = 2; i < n; ++i) 
        if(n % i == 0) // 判断 i 是否可以整除 n
            return false;
    
    return true;

🚩2.2 开方法

如果 n 是合数，必定存在一对因子 q1 和 q2，且满足条件 q1 <= sqrt(n)，q2 >= sqrt(n) , q1 * q2 = n。那么，只需要找到 q1 即可证明是合数，所以判断范围缩小为 2 ~ sqrt(n)。

例如：求解 10 是否是素数，10 的因子有 2，5，求解 2 ~ sqrt(10) 的整数是否可以整除 10 即可，因为 2 在此范围内。

代码如下所示。

bool isPrime(int n) 
    if(n <= 3)  // 简化操作，并处理特殊情况 2
        return true;
    for(int i = 2; i <= sqrt(n); ++i)  // sqrt为开方函数
        if(n % i == 0)
            return false;
    
    return true;

🚩2.3 线性筛法求素数

线性筛法原理：每一个合数只被最小素因子筛选一次。

线性筛法通过每个合数自身的最小质因子来筛出合数，每个合数只筛选一次，因为一个合数一定可以分解为一个素数与另一个数的乘积，标记合数时用那个合数最小的素因子标记。

例如：标记 30 用 2 * 15 标记，而不用 3 * 10 去标记。

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
using namespace std;

const int MAX_LEN = 1000;
int num = 0;
int prime[MAX_LEN];
bool isPrime[MAX_LEN];
/*
 * 线性筛法,
 */
bool judgePrime(int n) 
    memset(isPrime, false, sizeof(isPrime));
    for(int i = 2; i <= n; ++i) 
        if(!isPrime[i])
            prime[num++] = i ;
        for(int j = 0; (j < num && i * prime[j] <= n); ++j) 
            isPrime[i * prime[j]] = true ;
            if(!(i%prime[j]))
                break ;
        
    


int main()

    judgePrime(100);
    for(int i = 0; i < num; ++i) 
        cout<<prime[i]<<" ";
    
    cout<<endl;
    return 0;

在上述三种方法中，方法 1 因复杂度为 O(n)，一般不用。方法 2 通常用来判断单个数是否是素数。方法 3 通常用于筛出一个区间里的素数。

🔶🔶🔶 我是华丽的分割线 🔶🔶🔶