Codeforces Round #763 (Div. 2) D(推式子+概率)

Posted 2022-02-05 吃花椒的妙酱

题目大意： 给n*m的矩阵，给机器人起点和垃圾的终点，一开始向右下移动，撞到边界时会反方向移动，当机器人与垃圾同行或者同列时有p/100的概率清理垃圾，求机器人清理掉垃圾的步数期望
思路：
法一：推式子
显然，机器人的路线是有一个周期T的，其中 $T=lcm(2\ast (n-1),2(m-1))=\frac{2(n-1)(m-1)}{gcd(n-1,m-2)}$

行的周期是2m-2,列的周期是2n-2，lcm就是总的周期了。
设ai是走到第i步时候，i-1步内未清理垃圾,第i步还没确定
设bi是走到第i步，清理垃圾的概率
$ans={\sum }_{t=0}^{+OO}(a_T{)}^t{\sum }_{i=0}^T(i+tT)\ast b_i$
$=({\sum }_{i=0}^{T}i\ast bi)\ast \frac{1}{1-a_T}+T({\sum }_{i=0}^{T}bi)\ast {\sum }_{t=0}^{+OO}t{a}^t$
其中$\sum t{a}^t=\sum [(t+1)a^t-a^t]=\sum {(a^{t+1})}^{\prime }-\sum a^t,先求和再导一下，最后得$
$=({\sum }_{i=0}^{T}i\ast bi)\ast \frac{1}{1-a_T}+T({\sum }_{i=0}^{T}bi)\ast \frac{a_T}{(1-aT{)}^2}$

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
#include<map>
#include<deque>
#include <time.h>
#include<unordered_map>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define IOS ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0) 
#define _for(i,a,b) for(int i=(a) ;i<=(b) ;i++)
#define _rep(i,a,b) for(int i=(a) ;i>=(b) ;i--)
#define mst(v,s) memset(v,s,sizeof(v))
#define all(v) v.begin(),v.end()
#define AC return 0
#define pb(v) push_back(v) 
#define INF 0x7f7f7f7f7f7f7f7f
#define inf 0x3f3f3f3f
#define int long long
#define pii pair<int ,int > 
#define fi first
#define se second
#define endl "\\n"
const int N=4e5+10;
const int mod=1e9+7;
int n,k,m;
int dx,dy,sx,sy,ex,ey,p;
int a[N],b[N];
ll qsm(int a, int b)

    ll ans=1,temp=a;
    while(b)
    
        if( b&1 ) ans = (ans * temp )%mod;
        temp = (temp * temp)%mod;
        b>>=1;
    
    return ans;

ll gcd(int a ,int b)

    while( b )
    
        int t = a;
        a = b;
        b = t%b;
    
    return a;

int ni(int x)return qsm(x%mod,mod-2);;
signed main()

#ifndef ONLINE_JUDGE
   freopen("in.txt", "r", stdin);
#endif  
   // IOS;
    int T;cin>>T;
    while( T-- )
    
        cin>>n>>m>>sx>>sy>>ex>>ey>>p;
        dx = 1,  dy = 1;
        int C = 2*(n-1)*(m-1)/gcd((n-1),(m-1));
        p = p * ni(100) %mod;//化为分数
        int sum_b=0;
        int sum_ib=0;
        a[0]=1;
        _for(i,1,C)
        
            int flag = (sx == ex || sy == ey );//第i-1步的状态
            a[i] = ( a[i-1] * (1-flag*p+mod)%mod  )%mod;
            //ai，表示走了i-1步还没扔掉垃圾的几率
            if( sx + dx < 1 || sx + dx > n ) dx *=-1;
            if( sy + dy < 1 || sy + dy > m ) dy *=-1;
            //第i步的状态
            sx += dx;
            sy += dy;
            if(sx == ex || sy == ey ) b[i] = a[i] * p %mod;//bi, 第i步扔垃圾的概率
            else b[i]=0;
            sum_b = (sum_b + b[i])%mod;
            sum_ib = (sum_ib + b[i]*i%mod)%mod;
        
        int t = ni(1-a[C]+mod)%mod;
        int ans1 = sum_ib * t %mod;
        int ans2 = C * sum_b%mod * a[C]%mod * t %mod * t%mod;
        cout<<(ans1 + ans2 )%mod<<endl;
    
    AC;

法二：
设机器人一个周期的位置分别为1,2,3…k
设xi代表，机器人起点在第i个位置时，清理垃圾的期望步数
设ai代表，在第i个位置，作为起点时，清理垃圾的概率
则有
x1 = 0 + a1(1+x2)
x2 = 0 + a2(1+x3)
x3 = 0 + a3(1+x4)
…
xk = 0 + ak(1+x1)
联立得
x1 = a1(1+a2(1+a3(1+…+ak(1+x1))))
解方程即可
实属想不到QAQ，通过状态推方程