论文笔注适用于一般选择模型（产品组合优化）的启发式算法

Posted 囚生CY

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了论文笔注适用于一般选择模型（产品组合优化）的启发式算法相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

  • 论文标题：Assortment Optimization Under General Choice
  • 中文标题：一般选择下的产品组合优化
  • 论文下载链接：SSRN，DOI

序言

本文为Srikanth Jagabathula于2014年以独立作者身份发表的论文笔注，有趣的是Srikanth Jagabathula在2011年还曾经以第二作者身份发表过标题完全相同的论文arxiv@1108.3596

该论文于2014年10月22日首次发布于SSRN，但之后经过数次修改，目前从SSRN或DOI上下载得到的论文与笔者所阅读的版本存在较大差异，本文为论文的首发版本的笔注，主要研究的是ADXOpt算法在MNL模型及其几种变体上的效果与理论证明，上面给出的下载链接中作者已经删除了对这几个模型的理论证明和研究，而是着重研究算法对最优解的近似程度以及与这几年新提出的算法的一个效果对比，应该算是完全不同的两篇文章了，看起来要内容相比首发版本深得多。

笔者摘录了原文大部分的内容与证明过程，并做相应的笔注，逻辑基本完整，但是部分太长的证明并没有摘录。事实上本文的算法并不复杂，但是在熟悉本文的内容前，需要先对MNL模型做一个大致的了解。

关于MNL模型

  • 可选产品集： N = 1 , 2 , . . . , n N=\\1,2,...,n\\ N=1,2,...,n

  • 产品 i i i的实用性： μ i ∈ ( 0 , 1 ) \\mu_i\\in(0,1) μi​∈(0,1)

  • 产品 i i i的利润（或价格）： p i ∈ ( 0 , + ∞ ) p_i\\in(0,+\\infty) pi​∈(0,+∞)

  • 则购买商品 i i i的概率为：
    q i = exp ⁡ ( μ i ) 1 + ∑ j ∈ S exp ⁡ ( μ j ) q_i=\\frac\\exp(\\mu_i)1+\\sum_j\\in S\\exp(\\mu_j) qi​=1+∑j∈S​exp(μj​)exp(μi​)​
    其中 S ∈ N S\\in N S∈N为报价集（offer set），那么为了使得利润最大化，即需要解决以下优化问题：
    max ⁡ S ∈ N ∑ i ∈ S p i exp ⁡ ( μ i ) 1 + ∑ j ∈ S exp ⁡ ( μ j ) = max ⁡ x 1 , . . . , x n ∑ i = 1 n x i p i exp ⁡ ( μ i ) 1 + ∑ j = 1 n x j exp ⁡ ( μ j ) \\max_S\\in N\\sum_i\\in S\\fracp_i\\exp(\\mu_i)1+\\sum_j\\in S\\exp(\\mu_j)=\\max_x_1,...,x_n \\sum_i=1^n\\fracx_ip_i\\exp(\\mu_i)1+\\sum_j=1^nx_j\\exp(\\mu_j) S∈Nmax​i∈S∑​1+∑j∈S​exp(μj​)pi​exp(μi​)​=x1​,...,xn​max​i=1∑n​1+∑j=1n​xj​exp(μj​)xi​pi​exp(μi​)​
    其中决策变量 x i x_i xi​表示商品 i i i是否存在于报价集 S S S中，即：
    x i = 0 if  i ∉ S 1 if  i ∈ S x_i=\\left\\\\beginaligned &0&&\\textif i\\notin S\\\\ &1&&\\textif i\\in S \\endaligned\\right. xi​=​01​​if i∈/​Sif i∈S​
    这是一个拟线性（quasi-linear）规划问题，因为分子分母都是关于 x = ( x 1 , . . . , x n ) x=(x_1,...,x_n) x=(x1​,...,xn​)的线性函数。

  • 事实上在本科高级运筹学（或研究生优化理论）课上，江波的第一次作业的最后一题就是要求证明，最优解 S ∗ S^* S∗和最优解下的最大收益 v ∗ v^* v∗应当具有如下形式（这个在参考文献[26]中有提及）：
    S ∗ = i : p i ≥ v ∗ S^*=\\i:p_i\\ge v^*\\ S∗=i:pi​≥v∗
    其中利润值是降序排列，即 p 1 ≥ p 2 ≥ . . . ≥ p n ≥ 0 p_1\\ge p_2\\ge...\\ge p_n\\ge 0 p1​≥p2​≥...≥pn​≥0，这个其实是可以通过贪婪算法得到最优解的，因为没有容量限制，如果加上容量限制（比如 S S S至多包含 n / 2 n/2 n/2个产品），根据利润从大到小取就不一定正确了。

文章目录

摘要 Abstract

  • 如何向客户提供产品组合（mix of products）或报价集（offer set）以最大化期望收益？
  • 提供产品的预期收入取决于所提供产品的价格和需求。
  • 我们关注的是产品价格具有外生性（exogenously set），产品需求遵循一般的离散选择模型（discrete choice model）。
  • 基于选择的需求模型（choice-based demand models）在运营管理和收益管理中越来越流行，因为它们能够捕获替代（capture substitution）：如果首选产品（preferred product）无法获得，客户可以购买可获得的产品之一。
  • 然而，这种模型的灵活性是有代价的：在一般选择模型下寻找收益最大化的产品子集的问题在求解计算上难度较大。
  • 现有的工作侧重于特定的参数选择模型族，基于特定的参数结构来开发有效的优化算法。
  • 然而，对于几种常用的选择结构，高效的优化算法尚无定论。
  • 此外，大多数现有技术都是针对特定结构量身定制的，并且没有扩展（即使没有保证）到更一般的选择模型。
  • 本文另辟蹊径提出了一种通用的局部搜索算法，通过假设只访问一个收益子程序（revenue subroutine），为每个子集提供预期收益预测，从而找到最大规模为 C C C的收益最大化子集。
  • 我们证明了当基本选择模型是多项逻辑（multinomial logit，下简称为MNL）模型时，本文提出的算法可以有效地找到有容量约束和无容量约束的收益最大化报价集。
  • 在不存在容量约束的情况下，我们将结果推广到鲁棒多项逻辑模型（robust MNL model）。
  • 最后，我们证明了对于嵌套逻辑（nested logit，下简称为NL）和混合逻辑（mixed logit，下简称为ML）模型的特定变量，当没有容量约束时，本文提出的算法可以在多项式时间内收敛到局部最优解。
  • 本文的数值分析结果表明，即便算法没有收敛到最优解时，它依然可以找到了很好的近似解，且在复杂模型上得到的近似解比简单模型上得到的精确解在决策结果上会更优。
  • 本文的算法可以权衡预测复杂性和优化复杂性之间。

1 导论 Introduction

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