JavaScript数据结构与算法 - 图

Posted 2022-02-02 友人A ㅤ

1. 图的介绍

• 图是一组由边连接的节点（或顶点）
• 任何二元关系都可以用图来表示
• 任何社交网络，例如Facebook、Twitter和Google+，都可以用图来表示；还可以使用图来表示道路、航班以及通信等

概念：

一个图G=(V, E)由以下元素组成：

• V：一组顶点
• E：一组边，连接V中的顶点

相邻顶点： 由一条边连接在一起的顶点。如A和B相邻，A和E不相邻

度： 一个顶点的度是其相邻顶点的数量。如A和其他三个顶点相连接，则A的度为3

路径： 顶点v 1, v2,…, vk的一个连续序列，其中vi和vi+1是相邻的

简单路径： 简单路径要求不包含重复的顶点。A、D、G是一条简单路径；环也是一个简单路径

有向图：

• 有向图的边有一个方向
  -
• 如果图中每两个顶点间在双向上都存在路径，则该图是强连通的。例如，C和D是强连通的，而A和B不是强连通的
• 加权图和未加权图：
  

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2. 图的表示

2.1 邻接矩阵

图常用邻接矩阵来实现。每个节点都和一个整数相关联，该整数将作为数组的索引。

用一个二维数组来表示顶点之间的连接。如果索引为i的节点和索引为j的节点相邻，则array[i][j] === 1，否则array[i][j] === 0

缺点：

1. 不是强连通的图（稀疏图）如果用邻接矩阵来表示，则矩阵中将会有很多0，这意味着会浪费计算机存储空间来表示根本不存在的边。例如，找给定顶点的相邻顶点，即使该顶点只有一个相邻顶点，我们也不得不迭代一整行。
2. 图中顶点的数量可能会改变，而二维数组不太灵活。

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2.2 邻接表

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2.3 关联矩阵

在关联矩阵中，矩阵的行表示顶点，列表示边。

关联矩阵通常用于边的数量比顶点多的情况，以节省空间和内存。

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3. Graph类

先声明类的骨架：

class Graph 
	constructor(isDirected = false) 
	    // Graph构造函数可以接收一个参数来表示图是否有向，默认情况下是无向的
	    this.isDirected = isDirected;
	    // 使用数组来存储图中所有顶点的名字
	    this.vertices = [];
	    // 用字典来存储邻接表
	    this.adjList = new Dictionary();
	

实现向图中添加一个新的顶点的方法：

addVertex(v) 
    // 接收顶点v作为参数，这个顶点不存在于图中时
    if (!this.vertices.includes(v)) 
        // 将该顶点添加到顶点列表中
        this.vertices.push(v);
        // 在邻接表中，设置顶点v作为键对应的字典值为一个空数组
        this.adjList.set(v, []);
    
;

实现添加顶点之间的边的方法：

addEdge(v, w) 
    // 如果顶点v不存在于图中,将它加入顶点列表
    if (!this.adjList.get(v)) 
        this.addVertex(v);
    
    // 如果顶点w不存在于图中,将它加入顶点列表
    if (!this.adjList.get(w)) 
        this.addVertex(w);
    
    // 通过将w加入到v的邻接表中，添加一条自顶点v到顶点w的边
    this.adjList.get(v).push(w);
    if (!this.isDirected) 
        // 添加一条自w到v的边(基于无向图)
        this.adjList.get(w).push(v);
    

声明返回顶点列表的方法：

getVertices() 
    return this.vertices;

声明返回邻接表的方法：

getAdjList() 
    return this.adjList;

测试代码：

const graph = new Graph();

const myVertices = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G', 'H', 'I'];

for (let i = 0; i < myVertices.length; i++) 
    graph.addVertex(myVertices[i]);


graph.addEdge('A', 'B');
graph.addEdge('A', 'C');
graph.addEdge('A', 'D');
graph.addEdge('C', 'D');
graph.addEdge('C', 'G');
graph.addEdge('D', 'G');
graph.addEdge('D', 'H');
graph.addEdge('B', 'E');
graph.addEdge('B', 'F');
graph.addEdge('E', 'I');

console.log(graph.toString());

实现Graph类的toString方法，以便在控制台输出图：

toString() 
    let s = '';
    for (let i = 0; i < this.vertices.length; i++) 
        s += `$this.vertices[i] -> `;
        const neighbors = this.adjList.get(this.vertices[i]);
        for (let j = 0; j < neighbors.length; j++) 
            s += `$neighbors[j]`;
        
        s += '/n';
    
    return s;

结果：

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4. 图的遍历

对图进行遍历的算法:

1. 广度优先算法
2. 深度优先算法

图遍历可以用来寻找特定的顶点或寻找两个顶点之间的路径，检查图是否连通，检查图是否含有环等。

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图遍历的思想：

• 图遍历算法必须追踪每个第一次访问的节点，并追踪有哪些节点还没被完全探索
• 两种算法都需要明确指出第一个被访问的顶点
• 完全探索一个顶点要求查看该顶点的每一条边
• 对于每一条边所连接的没有被访问过的顶点，将其标注为被发现的，并将其加进待访问顶点列表中
• 为了保证算法的效率，务必访问每个顶点至多两次
• 连通图中每条边和顶点都会被访问到

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两种算法的区别：

算法	数据结构	描述
深度优先算法	栈	将顶点存入栈，顶点是沿着路径被探索的，存在新的相邻顶点就去访问
广度优先算法	队列	将顶点存入队列，最先入队列的顶点先被探索

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要标注已经访问过的顶点时，可以用三种颜色来反映他们的状态：

• 白色：该顶点还没被访问
• 灰色：该顶点被访问过，但并未被探索过
• 黑色：该顶点被访问过且被探索过

需要使用Colors变量，作为一个枚举器：

const Colors = 
	WHITE: 0,
	GREY: 1,
	BLACK: 2

需要一个辅助对象来帮助存储顶点是否被访问过。在每个算法的开头，所有的顶点会被标记为未访问（白色）：

const initializeColor = vertices => 
    const color = ;
    for (let i = 0; i < vertices.length; i++) 
        color[vertices[i]] = Colors.WHITE;
    
    return color;

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4.1 广度优先搜索

广度优先搜索算法会从指定的第一个顶点开始遍历图，先访问其所有的邻点（相邻顶点），就像一次访问图的一层，也就是先宽后深地访问顶点。

步骤：

1. 创建一个队列Q
2. 标注v为被发现的（灰色），并将v入队列Q
3. 如果Q非空，则：
   1. 将u从Q中出队列
   2. 标注u为被发现的（灰色）
   3. 将u所有未访问过的邻点（白色）入队列
   4. 标注u为已被探索的（黑色）

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算法实现：

const breadthFirstSearch = (graph, startVertex, callback) => 
    const vertices = graph.getVertices();
    const adjList = graph.getAdjList();
    // 用initializeColor函数将color数组初始化为白色
    const color = initializeColor(vertices);
    // 声明和创建一个队列来存储待访问和待探索的顶点
    const enqueue = new Queue();
    
    // 将顶点入队列
    queue.enqueue(startVertex);
    
    // 如果队列非空
    while (!queue.isEmpty()) 
        // 通过出队列操作从队列中移除一个顶点
        const u = queue.dequeue();
        // 取得一个包含其所有邻点的邻接表
        const neighbors = adjList.get(u);
        // 将该顶点标注为灰色，表示发现但未探索该顶点
        const [u] = Colors.GREY;
        for (let i = 0; i < neighbors.length; i++) 
            // 对于u的每个邻点，需要取得其值
            const w = neighbors[i];
            // 如果它还没被访问过
            if (color[w] === Colors.WHITE) 
                // 标注已经发现了它，设为灰色
                color[w] = Colors.GREY;
                // 将该顶点入队列
                queue.enqueue(w);
            
        
        // 当完成探索该顶点和其相邻顶点后，将该顶点标注为已探索过的，即黑色
        color[u] = Colors.BLACK;
        // breadthFirstSearch方法接收一个回调。这个参数是可选的，如果传递了回调函数，就会用到它
        if (callback) 
            callback(u);
        
    

测试代码：

const printVertex = (value) => console.log('Visited vertex: ' + value);
breadthFirstSearch(graph, myVertices[0], printVertex);

结果：

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1. 使用BFS寻找最短路径

给定一个图G和源顶点v，找出每个顶点u和v之间的最短路径的距离。

对于给定顶点v，广度优先算法会先访问所有与其距离为1的顶点，接着是距离为2的顶点，以此类推。

• 从v到u的距离 distances[u]
• 前溯点 predecessors[u]，用来推导出从v到其他每个顶点u的最短路径

改进的广度优先方法：

const BFS = (graph, startVertex) => 
    const verteices = graph.getVertices();
    const adjList = graph.getAdjList();
    const color = initializeColor(verteices);
    const queue = new Queue();
    // 表示距离
    const distances = ;
    // 表示前溯点
    const predecessors = ;

    queue.enqueue(startVertex);

    // 对于图中的每一个顶点
    for(let i = 0; i < verteices.length; i++) 
        // 用0和null来初始化
        distances[verteices[i]] = 0;
        predecessors[verteices[i]] = null;
    

    while(!queue.isEmpty()) 
        const u = queue.dequeue();
        const neighbors = adjList.get(u);
        color[u] = Colors.GREY;

        for (let i = 0; i < neighbors.length; i++) 
            const w = neighbors[i];

            if (color[w] === CVolors.WHITE) 
                color[w] = Colors.GREY;
                // 增加v和w之间的距离
                distances[w] = distances[u] + 1;
                // 设置w的前溯点为u
                predecessors[w] = u;
                queue.enqueue(w);
            
        
        color[u] = Colors.BLACK;
    
    // 返回一个包含distances和predecessors的对象
    return 
        distances,
        predecessors
    

4.2 深度优先搜索

从第一个指定的顶点开始遍历图，沿着路径直到这条路径最后一个顶点被访问了，接着原路回退并探索下一条路径。

深度优先搜索算法不需要一个源顶点。

在深度优先搜索算法中，若图中顶点v未访问，则访问该顶点v。

步骤：

1. 标注v为被发现的（灰色）
2. 对于v的所有未访问（白色）的邻点w，访问顶点w
3. 标注v为已被探索的（黑色）

// 深度优先搜索
// 接收一个Graph类实例和回调函数作为参数
const depthFirstSearch = (graph, callback) => 
    const vertices = graph.getVertices();
    const adjList = graph.getAdjList();
    const color = initializeColor(vertices);

    // 对实例中每一个未被访问过的顶点调用私有的递归函数
    for (let i = 0; i < vertices.length; i++) 
        if (color[vertices[i]] === Colors.WHITE) 
            // 传递的参数为 要访问的顶点u,颜色数组以及回调函数
            depthFirstSearchVisit(vertices[i], color, adjList, callback);
        
    
;
const depthFirstSearchVisit = (u, color, adjList, callback) => 
    // 访问顶点u时标注其为发现的
    color[u] = Colors.GREY;
    // 如果有callback函数,就执行该函数输出已访问过的顶点
    if (callback) 
        callback(u);
    

    // 取得包含顶点u所有邻点的列表
    const neighbors = adjList.get(u);

    // 对于顶点u的每一个未访问过的邻点w，调用depthFirstSearchVisit函数，传递w和其他参数
    for (let i = 0; i < neighbors.length; i++) 
        const w = neighbors[i];

        if (color[w] === Colors.WHITE) 
            depthFirstSearchVisit(w, color, adjList, callback);
        
    
    color[u] = Colors.BLACK;

如果希望深度优先算法遍历图G的所有节点，构建“森林”以及一组源顶点，并输出两个数组：发现时间和完成探索时间。

• 顶点u的发现时间d[u]
• 当顶点u被标注为黑色时，u的完成探索实践时间f[u]
• 顶点u的前溯点p[u]

const DFS = graph => 
    const vertices = graph.getVertices();
    const adjList = graph.getAdjList();
    const color = initializeColor(vertices);
    const d = ;
    const f = ;
    const p = ;
    // 追踪发现时间和完成探索时间
    const time =  const: 0 ;

    // 声明d、f、p
    for (let i = 0; i < vertices.length; i++) 
        f[vertices[i]] = 0;
        d[vertices[i]] = 0;
        p[vertices[i]] = null;
    
    for (let i = 0; i < vertices.length; i++) 
        if (color[vertices[i]] === Colors.WHITE) 
            DFSVisit(vertices[i], color, d, f, p, time, adjList);
        
    
    // 为图的每一个顶点初始化数组，并在这个方法结尾处返回这些值
    return 
        discovery: d,
        finished: f,
        predecessors: p
    
;
const DFSVisit = (u, color, d, f, p, time, adjList) => 
    color[u] = Colors.GREY;
    // 当一个顶点第一次被发现时，追踪其发现时间
    d[u] = ++time.count;
    const neighbors = adjList.get(u);

    for (let i = 0; i < verteices.length; i++) 
        if (color[w] === Colors.WHITE) 
            // 追踪前溯点
            p[w] = u;
            DFSVisit(w, color, d, f, p.time, adjList);
        
    
    color[u] = Colors.BLACK;
    // 顶点完全被探索后,追踪其完成时间
    f[u] = ++time.count;