漫谈：Chebyshev多项式，Krylov子空间，Chebyshev迭代，共轭梯度方法

Posted 2022-01-29 zongy17

漫谈：Chebyshev多项式，Krylov子空间，Chebyshev迭代，共轭梯度方法

• Chebyshev 多项式
• • 标准Chebyshev多项式
  • 三项递推关系
  • 逼近性质
• Chebyshev迭代
• • Richardson迭代和Krylov子空间
  • 单步迭代格式
  • 收敛速度
  • 两步迭代格式
• 共轭梯度（Conjugate Gradient）方法
• • 最速下降法的收敛速度
  • CG方法的收敛速度
• Chebyshev迭代和CG方法比较

Chebyshev迭代和共轭梯度方法的收敛速度（后者或称误差分析）都与Chebyshev多项式有着紧密联系，因此做一些整理，以期把其中的逻辑理清，推导理顺。只覆盖关键要点，不求面面俱到。

Chebyshev 多项式

标准Chebyshev多项式

与权函数$\rho (y)=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}$对应的正交多项式为Chebyshev多项式。标准的Chebyshev多项式分两段定义：
$$T_n(y)=\{\begin{array}{rlr}& \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(n\arccos (y))& ,y\in [-1,1]\\ & \frac{1}{2}\left[{\left(y+\sqrt{y^2-1}\right)}^n+{\left(y-\sqrt{y^2-1}\right)}^n\right]& ,y\in \mathbf{R}\setminus [-1,1]\end{array}$$

概述一些基本性质。$n$次的Chebyshev多项式在开区间$(-1,1)$内有$n$个零点，在$[-1,1]$内有$n+1$个符号交错的极值点（$-1$和$+1$交替）。Chebyshev多项式不是奇函数就是偶函数，且随$n$交替变化。

对于任意位置区间$[a,b]$的Chebyshev多项式，都可以通过平移和缩放来化为标准区间$[-1,1]$上的标准Chebyshev多项式。对于$x\in [a,b]$，做变换$y=\frac{x-\frac{1}{2}(b+a)}{\frac{1}{2}(b-a)}$，即有$y\in [-1,1]$：
$$\widetilde{T_n}(x)=T_n\left(y=\frac{x-\frac{1}{2}(b+a)}{\frac{1}{2}(b-a)}\right)$$
相应地，权函数也做变换：
$$\tilde{\rho }(x)=\rho \left(y=\frac{x-\frac{1}{2}(b+a)}{\frac{1}{2}(b-a)}\right)=\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{x-\frac{1}{2}(b+a)}{\frac{1}{2}(b-a)}\right)}^2}}$$

三项递推关系

记$\theta =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}y$，利用和差化积公式有
$$\cos ((n+1)\theta )+\cos ((n-1)\theta )=2\cos (n\theta )\cos (\theta )$$
故有
$$T_{n（Python）Markov，Chebyshev，Chernoff上界函数}$$

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