除法的取模运算

Posted 2023-02-15 sysu_zjl

逆元： 若，b*b1 % c == 1 则，b1称为b模c的乘法逆元。
在ACM中，许多除法取模都要用到求逆元。 但是，逆元，为什么能给我们带来 ( a/b ) % c == ( a*b1 ) % c ？？？

（当然a/b要整除）

要知道，取模等式等价变形中，是没有除法的！！！

而推导式，还是没有用除法的地方！！！

我们用反证法证明：
若b*b1 % c == 1，则( a/b ) % c ！= ( a*b1 ) % c 若我们证明这一命题是错误的，我们目的就达到了。
令，a/b == k1*c+y1 a*b1 == k2*c+y2

原来的证明则变成了：若b*b1 % c == 1，则 y1!=y2
两式相减，有 a/b-a*b1 == (k1-k2)*c + (y1-y2)

设 k == k1-k2 y == y1-y2 有，a/b-a*b1 == k*c + y

左右乘以b，

有 a*(1-b*b1) == k*b*c + b*y

左右模上c，

左边 == a*(1-b*b1)%c

　　== ( a*( 1%c - b*b1%c ) )%c

　　 == 0

右边 == (k*b*c + b*y)%c

　　== b*y%c

因为a/b为整除，b显然不会是0，那么y必须是0，这与命题矛盾，证毕