数理知识向量数乘，内积，外积，matlab代码实现

Posted 2023-03-03 Zhao-Jichao

1	【数理知识】向量数乘，内积，外积，matlab代码实现
2	【数理知识】矩阵普通乘积，哈达玛积，克罗内克积，点乘，点积，叉乘，matlab代码实现

文章目录

• 1. 向量基本形式
• 2. 向量的数乘
• 3. 向量的内积
• 4. 向量的外积
• Ref

1. 向量基本形式

形如 $\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)$ 的形式称之为向量。

---

2. 向量的数乘

指用一个数乘以向量中的每个元素

$$\begin{array}{rlr}b\ast \left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)\ast b& =\left(\begin{array}{c}{a}_1\ast b\\ a_2\ast b\\ ⋮\\ a_n\ast b\end{array}\right)\end{array}$$

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3. 向量的内积

等于对应位置相乘再相加，两个向量的内积的结果是变成一个标量（也叫点乘）

$$\begin{array}{rl}a\cdot b=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_1& a_2& \cdots & a_n& \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)& =a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n\end{array}$$

a = [1;
	 2;
     3];
b = [4;
	 5;
     6];

Matlab语法：dot(a, b)

>> dot(a, b)
ans =
    32

>> a .* b
ans =
     4
    10
    18

>> a * b
错误使用  * 
用于矩阵乘法的维度不正确。请检查并确保第一个矩阵中的列数与第
二个矩阵中的行数匹配。要单独对矩阵的每个元素进行运算，请使用
TIMES (.*)执行按元素相乘。

---

点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在 $b$ 向量在 $a$ 向量方向上的投影，有公式：

$$a\cdot b=|向量的内积和外积$$

向量点乘（内积），叉乘（外积）

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R语言矩阵向量操作（矩阵乘法，向量内积外积(叉乘)，矩阵转置，矩阵的逆）

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描述三维刚体旋转