动态规划之背包问题实现php
Posted
tags:
篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了动态规划之背包问题实现php相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
最近在研究动态规划算法,刚好看到背包问题。看到网上讲解这方面问题很多,感觉都有点不明白,后面细思苦想好久,终于理解这个思路。于是写下个人见解以及解题思路。
背包问题描述如下:
有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品,它们的重量分别是4,2,6,5,3,它们的价值分别是6,3,5,4,6,现在给你个承重为10的背包,如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和?
对于这题我们先不解题。先扯扯动态规划,下面描述的不太详细,可以自行百度:
动态规划所处理的问题是一个多阶段决策问题,一般由初始状态开始,通过对中间阶段决策的选择,达到结束状态。这些决策形成了一个决策序列,同时确定了完成整个过程的一条活动路线(通常是求最优的活动路线)。动态规划的设计都有着一定的模式,一般要经历以下几个步骤。
初始状态→│决策1│→│决策2│→…→│决策n│→结束状态
解题公式:f(n,m)=max{f(n-1,m), f(n-1,m-w[n])+P(n,m)}
这个一开始肯定是懵懂的,不要被这些公式和概念吓到。现在我们开始解题:
1.首先是初始状态。 假如只有a物品假如包重量为1-10分别能装多大价值物品
物品 | 重量 | 价值 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
a | 4 | 6 | 0 | 0 | 0 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 |
因为此时只算上了一个a物品,包各个重量的最大价值已经算出来了。这就是动态规划的初始状态。
2. 中间各种决策。上一步得到了只有a物品的情况下包各个重量下的最大价值,现在我们来决策1,就在第一步基础上增加b物件,现在我们有2个物品,再看看包各个重量的最大价值
物品 | 重量 | 价值 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
a | 4 | 6 | 0 | 0 | 0 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 |
b | 2 | 3 | 0 | 3 | 3 | 6 | 6 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 |
这里b4详细计算的。根据上面2个公式我只用取2个值的最大值。这2个值分别为a4和a(4-2(b的重量))+3(b的价值)。计算后分别为6和3,我们取最大值6。这步是所有理解的关键。
于是我们有决策2(同样的方式将c物品放进来计算),决策3(将d物品放进来),决策4(将e物品放进来)
3.走完所有决策后,于是我们有最终方案了,包各个重量的最大价值即为最后将e物品放进来的那一行。
理论说完我们直接上代码,这里是php版本代码,看了下网上例子,几乎很少有php版本的代码,感觉有点歧视php。作为多年php开发经验,再加上php毕竟世界上最好的语言,哈哈。开个玩笑!
<?php //初始化各个物品重量和价值数组 $weight_arr = array(0,4,2,6,5,3); $value_arr = array(0,6,3,5,4,6); //设置包最大重量为10 $bag_max = 10; $items = count($weight_arr) - 1; $cache_map = array(); $cache_map[] = array_fill(1, $items, 0); $ik = 1; //初始状态,假如只有第一个物品包各个重量的最大价值 for($i = 1; $i <= $bag_max; $i++) { if($weight_arr[$ik] > $i) { $cache_map[$ik][$i] = 0; } else { $cache_map[$ik][$i] = $value_arr[$ik]; } } //中间的各种决策(依次放入物品b,c,d,e) for($i = 1; $i <= $bag_max; $i++) for($j = 2; $j <= $items; $j++) { $j_weight = $weight_arr[$j]; $j_value = $value_arr[$j]; $j_prev_value = $cache_map[$j-1][$i]; if($j_weight > $i) { $cache_map[$j][$i] = $j_prev_value; } else { $j_extra_value = $j_value + $cache_map[$j-1][$i-$j_weight]; $cache_map[$j][$i] = max($j_prev_value, $j_extra_value); } } //最终状态 for($i = 1; $i <= $bag_max; $i++) { echo $i . ':' . $cache_map[$items][$i] . PHP_EOL; }
最后显示下计算结果吧:
1:0 2:3 3:6 4:6 5:9 6:9 7:12 8:12 9:15 10:15
以上是关于动态规划之背包问题实现php的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章