Leetcode62 Unique Paths

Posted 2023-02-28 xuweimdm

Unique Paths

A robot is located at the top-left corner of a m x n grid (marked ‘Start’ in the diagram below).

The robot can only move either down or right at any point in time. The robot is trying to reach the bottom-right corner of the grid (marked ‘Finish’ in the diagram below).

How many possible unique paths are there?

Solution1

• 因为要到右下角，则必须先到其左边或者上边，从而将问题转化为一个子问题，可以用递归。（注意递归效率极低，有大量重复的运算）

public class Solution 
    public int uniquePaths(int m, int n) 
        if(m<1||n<1) return 0;
        if(m==1||n==1) return 1;
        return uniquePaths3(m-1,n) + uniquePaths3(m,n-1);     
    

Solution2

• 从上可以看出这其实是一个动态递归问题，设置一个二维矩阵作为状态记录所用。

public class Solution 
    public int uniquePaths(int m, int n) 
        if(m<1||n<1) return 0;
        if(m==1||n==1) return 1;
        int[][] dp = new int[m][n];
        Arrays.fill(dp[0],1);
        for(int i=1;i<m;i++) dp[i][0] = 1;
        for(int i=1;i<m;i++)
            for(int j=1;j<n;j++)
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
            
        
        return dp[m-1][n-1];        
    

Solution3

• 因为状态方程里面只与上一个状态有关，所以可以用滚动数组。

public class Solution 
    public int uniquePaths(int m, int n) 
        if(m<1||n<1) return 0;
        if(m==1||n==1) return 1;
        int[] dp = new int[n];
        Arrays.fill(dp,1);
        for(int i=1;i<m;i++)
            for(int j=1;j<n;j++)
                dp[j] += dp[j-1];
            
        
        return dp[n-1];       
    

Solution4

• 还有一种数学的方法来求解此题。效率更高。基本思路实际就是组合数学的内容，总共需要走的步数为(n+m-2)步，这些步中需要有(m-1)步是往下走的，所以问题就转化为了在这(n+m-2)步中选出(m-1)步，有多少种选法？
• 这里要注意的是：在关于阶乘等相关的运算时，特别容易溢出，所以这里在计算的时候就直接相除了，并且先是用一个double类型的来存储。

public class Solution 
    public int uniquePaths(int m, int n) 
        if(m<1||n<1) return 0;
        if(m==1||n==1) return 1;
        double result = 1;//double类型存储所得商
        for(int i=1;i<m;i++) result = (result * (i+n-1) ) / i;
        return (int)result;