PCA-1 主成分分析--主成分
Posted 丘文波
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了PCA-1 主成分分析--主成分相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
主成分分析(principal component analysis,PCA ) 是一种的常见的无监督学习方法，这一方法利用正交变换把由线性相关变量表示的观测数据转换为少数几个有线性无关变量表示的数据。
这些线性无关的变量被称为主成分，主成分的个数通常小于原始变量。
所以主成分是观测数据(样本)的,不同的观测数据(样本)的主成分是不一样的。
可以理解成观测数据的另外一个维度。
1. PCA的定义(主要介绍样本主成分)
考虑由m维随机变量
x
=
[
x
1
x
2
⋯
x
m
]
⊤
x=\\left[\\beginarrayllllx_1 & x_2 & \\cdots & x_m\\endarray\\right]^\\top
x=[x1x2⋯xm]⊤到m维随机变量
y
=
[
y
1
y
2
⋯
y
m
]
⊤
y=\\left[\\beginarraylllly_1 & y_2 & \\cdots & y_m\\endarray\\right]^\\top
y=[y1y2⋯ym]⊤的线性变换：
y
=
A
T
x
\\boldsymboly=A^\\mathrmT \\boldsymbolx
y=ATx
即：
[
y
1
y
2
⋮
y
m
]
=
[
a
11
a
21
⋯
a
m
1
a
12
a
22
⋯
a
m
2
⋮
⋮
⋮
a
1
m
a
2
m
⋯
a
m
m
]
[
x
1
x
2
⋮
x
m
]
\\left[\\beginarrayc y_1 \\\\ y_2 \\\\ \\vdots \\\\ y_m \\endarray\\right]=\\left[\\beginarraycccc a_11 & a_21 & \\cdots & a_m 1 \\\\ a_12 & a_22 & \\cdots & a_m 2 \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ a_1 m & a_2 m & \\cdots & a_m m \\endarray\\right]\\left[\\beginarrayc x_1 \\\\ x_2 \\\\ \\vdots \\\\ x_m \\endarray\\right]
⎣⎢⎢⎢⎡y1y2⋮ym⎦⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎡a11a12⋮a1ma21a22⋮a2m⋯⋯⋯am1am2⋮amm⎦⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎡x1x2⋮xm⎦⎥⎥⎥⎤
y
i
=
α
i
T
x
=
∑
k
=
1
m
α
k
i
x
k
,
i
=
1
,
2
,
⋯
,
m
y_i=\\alpha_i^\\mathrmT \\boldsymbolx=\\sum_k=1^m \\alpha_k i x_k, \\quad i=1,2, \\cdots, m
yi=αiTx=k=1∑mαkixk,i=1,2,⋯,m
其中
α
i
T
=
(
α
1
i
,
α
2
i
,
⋯
,
α
m
i
)
\\alpha_i^\\mathrmT=\\left(\\alpha_1 i, \\alpha_2 i, \\cdots, \\alpha_m i\\right)
αiT=(α1i,α2i,⋯,αmi)。
如果该线性变换满足一下条件，则称
y
i
y_i
yi为主成分：
(1)
α
i
T
α
i
=
1
,
i
=
1
,
2
,
⋯
,
m
\\alpha_i^\\mathrmT \\alpha_i=1, i=1,2, \\cdots, m
αiTαi=1,i=1,2,⋯,m 。
α
i
\\alpha_i
αi是一个长度为1的向量。
(2) cov ( y i , y j ) = 0 ( i ≠ j ) \\operatornamecov\\left(y_i, y_j\\right)=0(i \\neq j) cov(yi,yj)=0(i=PCA-1 主成分分析--主成分
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