高斯消元学习笔记

Posted 2023-02-26 XINNNNNNNYU

高斯消元

默认大家都学过线代了

算法思想：

1. 就是求解矩阵的过程。把矩阵转化成一个上三角或者下三角的形式，那么只需要把对角线上的元素相乘就可以 $O(n)$ 得到矩阵的值。

2. 如何把矩阵转化成上三角或下三角呢，线性代数告诉我们把第i行的每个元素加上第j行对应的每个元素的k倍，原矩阵大小不变。（同理可以消除列）

3. 判断解的情况：

   a) 如果出现某一行，系数矩阵全为0，增广矩阵不全为0，则无解（即出现[0 0 0 0 0 b]，其中b不等于0的情况）（转化为方程就是说 $0\times x_1+...+0\times x_n=b(b\ne 0)$ ,显然这不可能）；

   b) 如果是严格上三角，则表明有唯一解；

   ​ 形如下图，以对角线为线，左下角全为0或右上角

   ​ [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-cb2IwFV9-1670482002823)(https://tse1-mm.cn.bing.net/th/id/R-C.d85ea5d58289c8b027ec7dd7dbb8ec26?rik=CmoIe2fedyOvCQ&riu=http%3a%2f%2fc.biancheng.net%2fuploads%2fallimg%2f190426%2f1KJR1D-5.gif&ehk=VYbXtHCtR86m65HblKk1JWB5G5OO%2bnEn8uOO1nsW7AM%3d&risl=&pid=ImgRaw&r=0&sres=1&sresct=1)]

   ​ c) 如果增广矩阵有k (k > 0)行全为0（全为0指b也等于0），那么表明有k个变量可以任 意取值，这几个变量即自由变量；对于这种情况，一般解的范围是给定的，令解的取值 有T个，自由变量有V个，那么解的个数就是 TV。

ACWING的基础模板题（防止没买基础课的看不了，题目也加上了）

• 883. 高斯消元解线性方程组 - AcWing题库

  • 题目：

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-SI14vpel-1670482002824)(https://s6.jpg.cm/2021/11/15/Iit3LE.png)]

  • 代码+板子

    #include <iostream>
    #include <algorithm>
    #include <cmath>
    
    using namespace std;
    
    const int N = 110;
    const double eps = 1e-6;
    
    int n;
    double a[N][N];
    
    
    int gauss()
    
        int c, r;
        for (c = 0, r = 0; c < n; c ++ )
        
            int t = r;
            for (int i = r; i < n; i ++ )
                if (fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c]))
                    t = i;
    
            if (fabs(a[t][c]) < eps) continue;
    
            for (int i = c; i < n + 1; i ++ ) swap(a[t][i], a[r][i]);
            for (int i = n; i >= c; i -- ) a[r][i] /= a[r][c];
    
            for (int i = r + 1; i < n; i ++ )
                if (fabs(a[i][c]) > eps)
                    for (int j = n; j >= c; j -- )
                        a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];
    
            r ++ ;
        
    
        if (r < n)
        
            for (int i = r; i < n; i ++ )
                if (fabs(a[i][n]) > eps)
                    return 2;
            return 1;
        
    
        for (int i = n - 1; i >= 0; i -- )
            for (int j = i + 1; j < n; j ++ )
                a[i][n] -= a[j][n] * a[i][j];
    
        return 0;
    
    
    int main()
    
        cin >> n;
        for (int i = 0; i < n; i ++ )
            for (int j = 0; j < n + 1; j ++ )
                cin >> a[i][j];
    
        int t = gauss();
    
        if (t == 0)
        
            for (int i = 0; i < n; i ++ ) printf("%.2lf\\n", a[i][n]);
        
        else if (t == 1) puts("Infinite group solutions");
        else puts("No solution");
    
        return 0;
    
    
    
    

• 884. 高斯消元解异或线性方程组 - AcWing题库

  • 题目：[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-tYEKWrkQ-1670482002824)(https://s6.jpg.cm/2021/11/15/IitCbQ.png)]

  • 板子+代码

    #include <iostream>
    #include <algorithm>
    
    using namespace std;
    
    const int N = 110;
    
    
    int n;
    int a[N][N];
    
    
    int gauss()
    
        int c, r;
        for (c = 0, r = 0; c < n; c ++ )
        
            int t = r;
            for (int i = r; i < n; i ++ )
                if (a[i][c])
                    t = i;
    
            if (!a[t][c]) continue;
    
            for (int i = c; i <= n; i ++ ) swap(a[r][i], a[t][i]);
            for (int i = r + 1; i < n; i ++ )
                if (a[i][c])
                    for (int j = n; j >= c; j -- )
                        a[i][j] ^= a[r][j];
    
            r ++ ;
        
    
        if (r < n)
        
            for (int i = r; i < n; i ++ )
                if (a[i][n])
                    return 2;
            return 1;
        
    
        for (int i = n - 1; i >= 0; i -- )
            for (int j = i + 1; j < n; j ++ )
                a[i][n] ^= a[i][j] * a[j][n];
    
        return 0;
    
    
    
    int main()
    
        cin >> n;
    
        for (int i = 0; i < n; i ++ )
            for (int j = 0; j < n + 1; j ++ )
                cin >> a[i][j];
    
        int t = gauss();
    
        if (t == 0)
        
            for (int i = 0; i < n; i ++ ) cout << a[i][n] << endl;
        
        else if (t == 1) puts("Multiple sets of solutions");
        else puts("No solution");
    
        return 0;
    

题型分类

• 浮点数消元

  系数矩阵为整数或浮点数，消元的时候乘上的系数为浮点数，一般用于求解浮点数解

• 整数消元

  系数矩阵全为整数，消元的时候乘上的系数均为整数，整个消元过程不出现浮点数。由于乘法很容易溢出，一般很少用。（真迫不得已就上Java，Python）

• 模线性方程组（很有用）

  系数矩阵全为整数，消元的时候乘上的系数均为整数，每次运算都模上一个数P，整个消元过程不出现除法。（因为高斯消元的过程和最后的计算都是只有±×，对取模后的结果都没影响，这样算出来的结果和原来答案取模后是一样的）

  • 有的是给定解的范围求解的数量，例如：PKU 1830、HDU 3364
  • 有的是求一个解，例如PKU 2065、HDU 3571
  • 有的是求解的存在性，例如PKU1288、PKU 3185。
  • 有的是已知解得绝对值求正负，例如2021icpc济南J