参数估计与假设检验

Posted 2023-02-25 会思考的浣熊

第七章 参数估计与假设检验

一、参数估计的种类

1. 点估计
2. 区间估计

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二、点估计

（一）、方法一：矩估计

总体 $X \\sim f(, \\theta)$，但参数 $\\theta$ 未知，需要对参数 $\\theta$ 进行估计。
步骤
1. 取样$\\quad X_1, X_2, \\cdots, X_n$
2. 计算样本均值 $\\quad\\barX = \\frac1n \\sum_i=1^n X_i$，根据大数定律有

$$\\frac1n \\sum_i=1^n X_i \\stackrelP\\longrightarrow \\frac1n \\sum_i=1^n EX_i = EX$$
3. 令 $\\barX = EX$，在 $EX$ 的结果中包含参数 $\\theta$ $\\Longrightarrow \\hat\\theta$，若含有两个参数 $\\theta_1, \\theta_2$ ，由大数定律知 $$\\barX = EX$$ $$A_2 = \\frac1n \\sum_i=1^n X_i^2 = EX^2$$

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（二）、方法二：极大似然估计

设 $X \\sim f(x, \\theta)$ 或 $X \\sim f(x, \\theta_1, \\theta_2)$
步骤：
1.
对离散型：

$$L(x_1, x_2, \\cdots, x_n; \\theta) = \\prod_i=1^n P\\X = x_i\\$$
对连续型： $$L(x_1, x_2, \\cdots , x_n; \\theta) = \\prod_i=1^n f(x_i; \\theta)$$
2. 求 $\\quad\\ln L(x_1, x_2, \\cdots , x_n; \\theta)$
3. 对一个参数令 $\\fracdd\\theta \\ln L = 0$，对两个参数 ∂∂θ