AtCoder Beginner Contest 243 F（思维+dp计数）

Posted 2023-02-24 吃花椒的妙酱

题意： n种物品，每种无限个,给定抽到每种物品的概率，抽k次，问抽到m种物品的概率是多少，(n,m,k<=50)

Solution:
\\quad 结果是某种物品取了多少个这种形式，我们写成函数
$k!{\sum }_{i=1}^n\frac{p_i^{c_i}}{c_i!},\sum [c_i>0]=m,\sum c_i=k$,$其中p_i表示抽到第i种物品的概率，c_i表示抽到的i的数量$。

然后用dp算上面的式子，dp[i][j][k]表示前i种物品抽到j种，共k个物品的概率
枚举当前第i种物品取了l个，有转移方程
$dp[i][j][k]<-dp[i-1][j-(l>0)][t-l]\ast \frac{p_i^l}{l!}$
时间复杂度O(n^4)

int fac[N],ni_f[N];
ll qsm(int a,int b)
    ll ans = 1,tmp=a;
    while(b)
        if( b&1 ) ans = ans * tmp%mod;
        tmp = tmp * tmp%mod;
        b>>=1;
    
    return ans;

void ini()
    int maxn = 100;
    fac[0]=1;
    _for(i,1,maxn) fac[i] = fac[i-1]*i%mod;
    ni_f[maxn] = qsm(fac[maxn],mod-2);
    _rep(i,maxn-1,0)  ni_f[i] = ni_f[i+1]*(i+1)%mod;

int dp[N][N][N];
int k,m,n;
int a[N];
signed main()
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt", "r", stdin);
#endif  
    ios;
    ini();
    int S = 0;
    cin>>n>>m>>k;
    _for(i,1,n) cin>>a[i],S+=a[i];
    _for(i,1,n) a[i] = a[i]*qsm(S,mod-2)%mod;
    dp[0][0][0]=1;
    _for(i,1,n)
        _for(j,0,m)
            _for(t,0,k)
                _for(l,0,t)
                    if( j - (l>0) >=0)
                        dp[i][j][t] = (dp[i][j][t] + dp[i-1][j-(l>0)][t-l] * qsm(a[i],l)%mod*ni_f[l]%mod)%mod;
                    
                
               
        
    
    int ans = dp[n][m][k] * fac[k]%mod;
    cout<<ans<<endl;