应用统计学简单随机抽样的区间估计和样本容量的确定

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了应用统计学简单随机抽样的区间估计和样本容量的确定相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

一、置信度和置信区间

 二、总体均值的置信区间

1.总体服从正态分布,且方差已知

随机变量X服从正态分布,那么它抽样分布的样本均值也服正态分布。同时,我们可以先将它转化为标准正态分布

根据区间估计的定义,我们可以构造总体均值μ的置信区间。对于给定的显著性水平α,有

 将式(5.13)代入上式得到:

 对上式括号内做不等式的等价变换后得到:

 

 于是置信度1- α置信区间μ的上下限是:

放回抽样不放回抽样抽样平均误差的计算公式代入式(5.16),可得置信度为1- α的总体均值置信区间公式:

 例5-3 某银行想对本月银行储户提取的现金平均数做估计,现采用随机不放回抽样方式在现有的2000名客户中抽取400名储户的提现记录,测得样本的平均提现额度为1000元。已知储户提现额度服从正态分布,且标准差为150元。试以95%的置信度估计本月该行客户的提现平均额的置信区间。

 因此,在置信度95%下,该行储户的提现平均额度的置信区间为986.85元~1013.15元。

2.总体服从正态分布,但是方差未知

随机变量X服从正态分布,但是方差未知,那么它抽样分布的样本均值也用类似于正态分布的T分布来进行近似计算。样本均值经过标准化以后,得到的随机变量服从自由度为n-1的t分布

 同上,对于放回抽样不放回抽样,置信度为1- α的总体均值的置信区间公式为:

例5-4

 

 

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3.非正态总体

对于总体非正态分布的情况,如果样本容量足够大(n>30);那么对于方差已知,抽样分布的样本均值可用正态分布来进行近似计算。同理,对于方差未知,抽样分布的平均数可用类似于正态分布的T分布来进行近似计算。

 三、总体成数的置信区间

 同理,大样本情况下,总体成数的置信区间公式如下:

 例5.5 某保险公司欲了解本地区汽车保险的出险情况。随机抽查了100辆机动车过去一年的保单,其中有25份保单有出险记录。试以95%的置信度估计该地区汽车保险出险率的置信区间。

四、两个总体均值之差的置信区间

当总体服从正态分布时,根据正态分布再生定理,样本平均数服从正态分布。当总体不服从正态分布时,根据中心极限定理,当n充分大时(通常要求n≥30),样本平均数近似服从正态分布。所以,我们可以推断出:

 例5-6

 

例5-7 

 

 

 备注:5.30式需要大样本条件才成立,即一般要求样本数量n>=30.

五、两个总体成数之差的置信区间

例5-8

某饮料公司对其所做的报纸广告在两个城市的效果进行了比较,他们从两个城市中分别随机调查了1000个成年人,其中看过该广告的样本成数分别为0.18和0.14,试求两个城市成年人中看过该广告的成数之差的95%的置信区间。

六、 估计总体均值样本容量的确定

1、放回抽样

 例5-9

某企业想估计本企业职工上个月上下班花在路途上的平均时间。经验表明,总体标准为4.3分钟。以置信度95%的置信区间进行估计,并使估计值处在真正平均值附近1分钟的误差范围之内。该企业应抽取多大的样本?

  说明:当公式计算的结果带有小数时,样本容量应取比这个数大的最小整数。

2、不放回抽样

 七、 估计总体成数样本容量的确定

1、放回抽样

 例5-10

一家公司想估计某地区拥有彩色电视机的家庭所占的比例。该公司希望对的估计误差不超过0.05,要求置信度为95%,这时应取多大容量的样本?
:根据相关知识,当P=0.5时,样本成数方差达到最大值。因此,在无法得到P值时,可以用P=0.5计算。这样得出的必要样本容量虽然可能比实际需要的容量大一些,但可以充分保证有足够高的置信水平和尽可能小的置信区间。

 故为了以95%的置信度保证估计误差不超过0.05,应取385户进行调查。

2、不放回抽样

同理,可由不放回抽样总体成数的置信区间估计公式推得:

 其中的样本成数P代替了未知的总体成数。

以上是关于应用统计学简单随机抽样的区间估计和样本容量的确定的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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