P3628 [APIO2010]特别行动队

Posted 2021-02-01 olinr

(color{#0066ff}{ 题目描述 })

你有一支由 (n) 名预备役士兵组成的部队，士兵从 (1) 到 (n) 编号，要将他们拆分 成若干特别行动队调入战场。出于默契的考虑，同一支特别行动队中队员的编号 应该连续，即为形如((i, i + 1, ..., i + k))的序列。 编号为 i 的士兵的初始战斗力为 xi ，一支特别行动队的初始战斗力 x 为队内 士兵初始战斗力之和，即 (x = x_i + x_{i+1} + ... + x_{i+k})

通过长期的观察，你总结出一支特别行动队的初始战斗力 (x) 将按如下经验公 式修正为 (x':x'= ax^2+bx+c)其中 (a, b, c) 是已知的系数(（a < 0）)。 作为部队统帅，现在你要为这支部队进行编队，使得所有特别行动队修正后 战斗力之和最大。试求出这个最大和。

例如，你有 4 名士兵， (x_1 = 2, x_2 = 2, x_3 = 3, x_4 = 4)。经验公式中的参数为 (a = –1, b = 10, c = –20)。此时，最佳方案是将士兵组成 (3) 个特别行动队：第一队包含士兵 (1) 和士兵 (2)，第二队包含士兵 (3)，第三队包含士兵 (4)。特别行动队的初始战斗力分 别为 (4, 3, 4)，修正后的战斗力分别为 (4, 1, 4)。修正后的战斗力和为 (9)，没有其它 方案能使修正后的战斗力和更大。

(color{#0066ff}{输入格式})

输入由三行组成。第一行包含一个整数 (n)，表示士兵的总数。第二行包含三 个整数 (a, b, c)，经验公式中各项的系数。第三行包含 (n) 个用空格分隔的整数 (x_1, x_2, …, x_n)，分别表示编号为 (1, 2, …, n) 的士兵的初始战斗力。

(color{#0066ff}{输出格式})

输出一个整数，表示所有特别行动队修正后战斗力之和的最大值。

(color{#0066ff}{输入样例})

4 
-1 10 -20 
2 2 3 4 

(color{#0066ff}{输出样例})

9

(color{#0066ff}{数据范围与提示})

20%的数据中，n ≤ 1000；

50%的数据中，n ≤ 10,000；

100%的数据中，1 ≤ n ≤ 1,000,000，–5 ≤ a ≤ –1，|b| ≤ 10,000,000，|c| ≤ 10,000,000，1 ≤ xi ≤ 100

(color{#0066ff}{题解})

不难得出DP式子

(f[i])代表(1 o i)分组的答案， (s[i])代表每个人x的前缀和

则(f[i] = f[j-1] + a*(s[i]-s[j-1])^2+b*(s[i]-s[j-1])+c)

(f[i]=f[j-1]+a*s[i]^2+a*s[j-1]^2-2*a*s[i]*s[j-1]+b*s[i]-b*s[j-1]+c)

(f[i]=f[j-1]+a*s[j-1]^2-2*a*s[i]*s[j-1]-b*s[j-1]+a*s[i]^2+b*s[i]+c)

令(t=a*s[i]^2+b*s[i]+c)

(f[i]=f[j-1]+a*s[j-1]^2-(2*a*s[i]+b)*s[j-1])

令(k（斜率）=(2*a*s[i]+b))

(k*s[j-1]+f[i]=f[j-1]+a*s[j-1]^2+t)

看成平面上的点((s[j-1],f[j-1]+a*s[j-1]^2)),t最后加就行了

f[i]作为直线的截距，我们要找最大截距，即维护上凸包

虚线即当前斜率k

则当且仅当k在两个斜率之间的那个交点处最优

取到最优点后，再维护凸包

可以用双端队列

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
LL in() {
    char ch; int x = 0, f = 1;
    while(!isdigit(ch = getchar()))(ch == '-') && (f = -f);
    for(x = ch ^ 48; isdigit(ch = getchar()); x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48));
    return x * f;
}
const int maxn = 1e6 + 100;
const LL inf = 999999999999999LL;
LL f[maxn], s[maxn], a, b, c;
int n;
int head, tail, q[maxn];
LL X(int x) { return s[x]; }
LL Y(int x) { return f[x] + a * s[x] * s[x]; }
double k(int x, int y) { return (double)(Y(x) - Y(y)) / (double)(X(x) - X(y)); }
int main() {
    n = in(), a = in(), b = in(), c = in();
    for(int i = 1; i <= n; i++) s[i] = s[i - 1] + in();
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        LL K = 2LL * a * s[i] + b;
        LL t = a * s[i] * s[i] + b * s[i] + c;
        while(head < tail && K < k(q[head + 1], q[head])) head++;
        f[i] = Y(q[head]) + t - K * X(q[head]);
        while(head < tail && k(q[tail], q[tail - 1]) < k(q[tail], i)) tail--;
        q[++tail] = i;
    }
    printf("%lld
", f[n]);
    return 0;
}