[LeetCode] 311. Sparse Matrix Multiplication 稀疏矩阵相乘
Posted 轻风舞动
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Given two sparse matrices A and B, return the result of AB.
You may assume that A‘s column number is equal to B‘s row number.
Example:
A = [ [ 1, 0, 0], [-1, 0, 3] ] B = [ [ 7, 0, 0 ], [ 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 1 ] ] | 1 0 0 | | 7 0 0 | | 7 0 0 | AB = | -1 0 3 | x | 0 0 0 | = | -7 0 3 | | 0 0 1 |
给2个稀疏矩阵,返回矩阵相乘的结果。
在数值分析中,稀疏矩阵(Sparse matrix),是其元素大部分为零的矩阵。反之,如果大部分元素都非零,则这个矩阵是稠密的。在科学与工程领域中求解线性模型时经常出现大型的稀疏矩阵。在使用计算机存储和操作稀疏矩阵时,经常需要修改标准算法以利用矩阵的稀疏结构。由于其自身的稀疏特性,通过压缩可以大大节省稀疏矩阵的内存代价。更为重要的是,由于过大的尺寸,标准的算法经常无法操作这些稀疏矩阵。
解法:稀疏矩阵中绝大多数的元素为0,而相乘的结果是还应该是稀疏矩阵,即还是大多数元素为0,用传统矩阵相乘的算法肯定会处理大量的0乘0的无用功,所以需要适当的优化算法,使其可以顺利通过OJ。一个 i x k 的矩阵A乘以一个 k x j 的矩阵B会得到一个 i x j 大小的矩阵C,矩阵中的某个元素C[i][j]是A[i][0]*B[0][j] + A[i][1]*B[1][j] + ... + A[i][k]*B[k][j],为了不重复计算0乘0,遍历A, B数组, 如果A[i][k], B[K][J]不为0,才继续计算,累加结果res[i][j] += A[i][k] * B[k][j]。
Java: naive solution. T: O(n^3)
public int[][] multiply(int[][] A, int[][] B) { //validity check int[][] C = new int[A.length][B[0].length]; for(int i=0; i<C.length; i++){ for(int j=0; j<C[0].length; j++){ int sum=0; for(int k=0; k<A[0].length; k++){ sum += A[i][k]*B[k][j]; } C[i][j] = sum; } } return C; }
Java:
public int[][] multiply(int[][] A, int[][] B) { //validity check int[][] C = new int[A.length][B[0].length]; for(int i=0; i<C.length; i++){ for(int k=0; k<A[0].length; k++){ if(A[i][k]!=0){ for(int j=0; j<C[0].length; j++){ C[i][j] += A[i][k]*B[k][j]; } } } } return C; }
Python: optimized, T: O(n^2)
# Time: O(m * n * l), A is m x n matrix, B is n x l matrix # Space: O(m * l) class Solution(object): def multiply(self, A, B): """ :type A: List[List[int]] :type B: List[List[int]] :rtype: List[List[int]] """ m, n, l = len(A), len(A[0]), len(B[0]) res = [[0 for _ in xrange(l)] for _ in xrange(m)] for i in xrange(m): for k in xrange(n): if A[i][k]: for j in xrange(l): res[i][j] += A[i][k] * B[k][j] return res
C++:
class Solution { public: vector<vector<int>> multiply(vector<vector<int>>& A, vector<vector<int>>& B) { vector<vector<int>> res(A.size(), vector<int>(B[0].size())); for (int i = 0; i < A.size(); ++i) { for (int k = 0; k < A[0].size(); ++k) { if (A[i][k] != 0) { for (int j = 0; j < B[0].size(); ++j) { if (B[k][j] != 0) res[i][j] += A[i][k] * B[k][j]; } } } } return res; } };
C++:
class Solution { public: vector<vector<int>> multiply(vector<vector<int>>& A, vector<vector<int>>& B) { vector<vector<int>> res(A.size(), vector<int>(B[0].size())); vector<vector<pair<int, int>>> v(A.size(), vector<pair<int,int>>()); for (int i = 0; i < A.size(); ++i) { for (int k = 0; k < A[i].size(); ++k) { if (A[i][k] != 0) v[i].push_back({k, A[i][k]}); } } for (int i = 0; i < A.size(); ++i) { for (int k = 0; k < v[i].size(); ++k) { int col = v[i][k].first; int val = v[i][k].second; for (int j = 0; j < B[0].size(); ++j) { res[i][j] += val * B[col][j]; } } } return res; } };
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