3675: [Apio2014]序列分割

Posted 2021-01-05 InWILL

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Description

小H最近迷上了一个分隔序列的游戏。在这个游戏里，小H需要将一个长度为n的非负整数序列分割成k+1个非空的子序列。为了得到k+1个子序列，小H需要重复k次以下的步骤：

1.小H首先选择一个长度超过1的序列（一开始小H只有一个长度为n的序列——也就是一开始得到的整个序列）；

2.选择一个位置，并通过这个位置将这个序列分割成连续的两个非空的新序列。

 

每次进行上述步骤之后，小H将会得到一定的分数。这个分数为两个新序列中元素和的乘积。小H希望选择一种最佳的分割方式，使得k轮之后，小H的总得分最大。

 

Input

输入第一行包含两个整数n，k（k+1≤n）。

第二行包含n个非负整数a1，a2，...，an（0≤ai≤10^4），表示一开始小H得到的序列。

Output

输出第一行包含一个整数，为小H可以得到的最大分数。

Sample Input

7 3
4 1 3 4 0 2 3

Sample Output

108

HINT

 

【样例说明】 

在样例中，小H可以通过如下3轮操作得到108分： 

1．-开始小H有一个序列(4，1，3，4，0，2，3)。小H选择在第1个数之后的位置 

将序列分成两部分，并得到4×(1+3+4+0+2+3)=52分。 

2．这一轮开始时小H有两个序列：(4)，(1，3，4，0，2，3)。小H选择在第3个数 


3)=36分。 

3．这一轮开始时小H有三个序列：(4)，(1，3)，(4，0，2，3)。小H选择在第5个 

数字之后的位置将第三个序列分成两部分，并得到(4+0)×(2+3)= 

20分。 

经过上述三轮操作，小H将会得到四个子序列：(4)，(1，3)，(4，0)，(2，3)并总共得到52+36+20=108分。 

【数据规模与评分】 

：数据满足2≤n≤100000,1≤k≤min(n -1，200)。

 

先膜一发黄学长，想了好久才想明白，f[i]的计算是倒过来的

仔细观察，可以发现分割顺序是不影响最终结果的，所以我们可以从右边开始分割（想了一个小时。。。）

f[i]=max{f[j]+(s[i]-s[j])*s[j]}

斜率优化（注意变号）：

[frac{f[j]-f[k]+s[k]^{2}-s[j]^{2}}{s[k]-s[j]}<s[i]]

需要加个滚动数组节省空间

 

 

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 using namespace std;
 4 
 5 #define LL long long
 6 const int MAXN=100005;
 7 
 8 int n,k;
 9 int a[MAXN],q[MAXN];
10 LL f[MAXN],g[MAXN],s[MAXN];
11 
12 double slope(int k,int j)
13 {
14     return (double)(g[j]-g[k]+s[k]*s[k]-s[j]*s[j])/(s[k]-s[j]);
15 }
16 
17 void dp()
18 {
19     int l=0,r=0;
20     for(int i=1;i<=n;i++)
21     {
22         while(l<r&&slope(q[l],q[l+1])<s[i]) l++;
23         int t=q[l];
24         f[i]=g[t]+(s[i]-s[t])*s[t];
25         while(l<r&&slope(q[r-1],q[r])>slope(q[r],i)) r--;
26         q[++r]=i;
27     }
28     for(int i=1;i<=n;i++) swap(f[i],g[i]);
29 }
30 
31 int main()
32 {
33     scanf("%d %d",&n,&k);
34     for(int i=1;i<=n;i++)
35     {
36         scanf("%d",&a[i]);
37         s[i]=s[i-1]+a[i];
38         if(a[i]==0) i--,n--;
39     }
40     for(int i=1;i<=k;i++) dp();
41     printf("%lld",g[n]);
42     return 0;
43 }