[APIO2010]特别行动队

Posted 2021-01-04 西窗夜雨

一道斜率优化DP

首先，什么是斜率优化：

其实就是找斜率的方式将DP方程转换为y = kx+b的形式。

如果对于方程形如这样的

$F[i] = min（F[j] + Sum[i,j]） + k$(k为常数)

我们不能对其进行比较有效果的优化，因为它的转移，涉及到了关于i和关于j的一些数组，这时我们就需要用斜率优化了。

通常我们令k<j<i，且用j来更新F[i]比用j优。则有

$ F[j] + sum[i,j] < F[k] + sum[i,k]$

并且我们都可以化成如下形式，X[j],Y[j]指只关于j的数，X[k],Y[k]就是

$frac {Y[j] - Y[k]} {X[j] - X[k]} < F[i]$

我们可以根据这个式子，来优化DP,这就是斜率优化的主要思想。

$==============这是分割线=============$

那我们来看这道题：

设f[i]表示将前i个分组的最优值，则有转移方程式：

       f[i]=max{ f[j]+a*(C[i]-C[j])^2+b*(C[i]-C[j])+c }

经过化简得到：

       f[i]=max{ (f[j]+a*C[j]^2-b*C[j])-2*a*C[i]*C[j] } + a*C[i]^2+b*C[i]+c

单调队列维护上凸壳就行了

这是代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long

using namespace std;
const int N=1000005;

struct node{
    ll x,y;
    node(){}
    node(ll x,ll y):x(x),y(y){}
}st[N],a[N];
int t,n;
ll A,B,C;
ll s[N],x[N],dp[N];

double get(node a,node b){
    return (double)(a.y-b.y)/(a.x-b.x);//算凸包上相邻两点的斜率.
}

ll _find(double k){//表示我们要找斜率大于等于k的上凸壳上最后一个点.
    int l = 1,r = t;//假设凸包上有t个点,st[1~t].
    while (l < r){
        int mid = (l + r + 1)>>1;
        if (get(st[mid],st[mid-1]) >= (double)k) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return st[l].y - st[l].x * k;//k*x+b=y;求b. 
}

void solve(){//建上凸壳
    t = 0; 
    st[++t] = node(0,0);
    for (int i = 1 ; i <= n ; i++){
        dp[i] = _find(2ll * A * s[i]) + A * s[i] * s[i] + B * s[i] + C;
        a[i].x = s[i]; 
        a[i].y = dp[i] + A * s[i] * s[i] - B * s[i];
        while (t>1 && get(a[i],st[t]) >= get(st[t],st[t-1])) t--;//表示如果i点加进去是凹的(st[t]到i的斜率>=st[t-1]到st[t]的斜率)那么就弹出st[t]
        st[++t] = a[i];
    }
}

int main(){
    scanf("%d",&n);
    scanf("%lld%lld%lld",&A,&B,&C);
    for (int i = 1 ; i <= n ; i++) 
        scanf("%lld",&x[i]);
    for (int i = 1 ; i <= n ; i++) 
        s[i] = s[i - 1] + x[i];
    solve();
    printf("%lld
",dp[n]);
    return 0;
}