leetcode题解之33. 搜索旋转排序数组

Posted 2020-12-12 刷题之路1

假设按照升序排序的数组在预先未知的某个点上进行了旋转。

( 例如，数组 [0,1,2,4,5,6,7] 可能变为 [4,5,6,7,0,1,2] )。

搜索一个给定的目标值，如果数组中存在这个目标值，则返回它的索引，否则返回 -1 。

你可以假设数组中不存在重复的元素。

你的算法时间复杂度必须是 O(log n) 级别。

示例 1:

输入: nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 0
输出: 4

示例 2:

输入: nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 3
输出: -1

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方法一：二分搜索

思路和算法

题目要求算法时间复杂度必须是 $O(log n)$ 的级别，这提示我们可以使用二分搜索的方法。

但是数组本身不是有序的，进行旋转后只保证了数组的局部是有序的，这还能进行二分搜索吗？答案是可以的。

可以发现的是，我们将数组从中间分开成左右两部分的时候，一定有一部分的数组是有序的。拿示例来看，我们从 6 这个位置分开以后数组变成了 [4, 5, 6] 和 [7, 0, 1, 2] 两个部分，其中左边 [4, 5, 6] 这个部分的数组是有序的，其他也是如此。

这启示我们可以在常规二分搜索的时候查看当前 mid 为分割位置分割出来的两个部分 [l, mid] 和 [mid + 1, r] 哪个部分是有序的，并根据有序的那个部分确定我们该如何改变二分搜索的上下界，因为我们能够根据有序的那部分判断出 target 在不在这个部分：

• 如果 [l, mid - 1] 是有序数组，且 target 的大小满足 $[ extit{nums}[l], extit{nums}[mid])$，则我们应该将搜索范围缩小至 [l, mid - 1]，否则在 [mid + 1, r] 中寻找。
• 如果 [mid, r] 是有序数组，且 target 的大小满足 $( extit{nums}[mid+1], extit{nums}[r]]$，则我们应该将搜索范围缩小至 [mid + 1, r]，否则在 [l, mid - 1] 中寻找。

需要注意的是，二分的写法有很多种，所以在判断 target 大小与有序部分的关系的时候可能会出现细节上的差别。

• C++
• Python3

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        int n = (int)nums.size();
        if (!n) return -1;
        if (n == 1) return nums[0] == target ? 0 : -1;
        int l = 0, r = n - 1;
        while (l <= r) {
            int mid = (l + r) / 2;
            if (nums[mid] == target) return mid;
            if (nums[0] <= nums[mid]) {
                if (nums[0] <= target && target < nums[mid]) {
                    r = mid - 1;
                } else {
                    l = mid + 1;
                }
            } else {
                if (nums[mid] < target && target <= nums[n - 1]) {
                    l = mid + 1;
                } else {
                    r = mid - 1;
                }
            }
        }
        return -1;
    }
};

class Solution:
    def search(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        if not nums:
            return -1
        l, r = 0, len(nums) - 1
        while l <= r:
            mid = (l + r) // 2
            if nums[mid] == target:
                return mid
            if nums[0] <= nums[mid]:
                if nums[0] <= target < nums[mid]:
                    r = mid - 1
                else:
                    l = mid + 1
            else:
                if nums[mid] < target <= nums[len(nums) - 1]:
                    l = mid + 1
                else:
                    r = mid - 1
        return -1

复杂度分析

• 时间复杂度： $O(log n)$，其中 $n$ 为 $extit{nums}[]$ 数组的大小。整个算法时间复杂度即为二分搜索的时间复杂度 $O(log n)$。

• 空间复杂度： $O(1)$ 。我们只需要常数级别的空间存放变量。

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