下列数列规律 1，-7，-23，17，241，329，-1511，-5983，1633 能不能给出一个递推的通项

Posted 2023-05-16

an=3^n*cos(n*arccos(1/3))
要个递推的通项
或者直接证明an是整数但不是3的倍数

这题涉及切比雪夫多项式Tn(x)=cos(n*arccosx), 可以证明它有递推式Tn(x)=2xT(n-1)(x)-T(n-2)(x), 由此得出你那个结论。具体见下：

记A=arccosx, 则cosA=x, Tn(x)=cos(nA). 由和差化积公式，cos(nA)+cos(n-2)A=2cos(n-1)A*cosA, 带入即得递推式Tn(x)=2xT(n-1)(x)-T(n-2)(x).

下面证你的结论，也就是证3^n*Tn(1/3)是整数，但不是3的倍数。

T0(x)=1, T1(x)=x, 利用上面的递推式，由归纳法易证Tn(x)是n次多项式，且首项系数为2^n. 记Tn(x)=2^n*x^n+b(n-1)*x^(n-1)+…+b1*x+b0, 则Tn(1/3)=(2/3)^n+b(n-1)/3^(n-1)+…+b1/3+b0. 左边乘以3^n后，第一项为2^n, 后面的每一项都是3的倍数，所以整体不是3的倍数，证毕！

本题实际上是切比雪夫多项式的一种具体化，从一般的切比雪夫多项式的角度看或许更有益~~追问

切比雪夫多项式从哪看得。
谢谢

追答

你可以baidu或google一下。如果能上维基百科的话，那里说得更全一些(尤其英文！中文也还可以)。不过这方面的很多内容可能超出中学范围~比如切比雪夫多项式的母函数，切比雪夫多项式的最优一致逼近性等等

参考技术A a[n+1]+9a[n-1]=3^(n+1)*cos((n+1)*arccos(1/3))+9*3^(n-1)*cos((n-1)*arccos(1/3))
=3^(n+1)*(cos((n+1)*arccos(1/3))+cos((n-1)*arccos(1/3)))
=3^(n+1)*(2*cos(n*arccos(1/3)) *cos(acccos(1/3)) //和差化积
=2*3^n*cos(n*arccos(1/3))
=2*a[n]
a[n+1]=2*a[n]-9a[n-1]；
归纳法证明an是整数但不是3的倍数
1）a[1],a[2]是整数，且均不能被3整除；
2）a[n-1],a[n]是整数但不是3的倍数
a[n+1]=2*a[n]-9a[n-1] 也为整数，易得a[n+1]不是3的倍数。

主要是递推公式，证明比较简单，写得比较随意，望谅解。 参考技术B ？

斐波那契数列有啥规律

参考技术A F(n)=F(n-1)+F(n-2) 参考技术B 斐波拉契数列的简介
　　斐波拉契数列（又译作“斐波那契数列”或“斐波那切数列”）是一个非常美丽、和谐的数列，它的形状可以用排成螺旋状的一系列正方形来说明（如右词条图），起始的正方形(图中用灰色表示)的边长为1，在它左边的那个正方形的边长也是1 ，在这两个正方形的上方再放一个正方形，其边长为2，以后顺次加上边长为3、5、8、13、2l……等等的正方形。这些数字每一个都等于前面两个数之和，它们正好构成了斐波那契数列。“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年。籍贯大概是比萨）。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。

　　斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34……
　　这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为：(1/√5)*[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n　(√5表示5的算术平方根)　(19世纪法国数学家敏聂(Jacques Phillipe Marie Binet 1786-1856)
很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
斐波拉契数列的出现
　　13世纪初，欧洲最好的数学家是斐波拉契；他写了一本叫做《算盘书》的著作，是当时欧洲最好的数学书。书中有许多有趣的数学题，其中最有趣的是下面这个题目：
　　“如果一对兔子每月能生1对小兔子，而每对小兔在它出生后的第3个月裏，又能开始生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的兔子开始，1年后能繁殖成多少对兔子？”
斐波拉契把推算得到的头几个数摆成一串：1，1，2，3，5，8……
　　这串数里隐含着一个规律：从第3个数起，后面的每个数都是它前面那两个数的和。而根据这个规律，只要作一些简单的加法，就能推算出以后各个月兔子的数目了。
　　于是，按照这个规律推算出来的数，构成了数学史上一个有名的数列。大家都叫它“斐波拉契数列”，又称“兔子数列”。这个数列有许多奇特的的性质，例如，从第3个数起，每个数与它后面那个数的比值，都很接近于0.618，正好与大名鼎鼎的“黄金分割律”相吻合。人们还发现，连一些生物的生长规律，在某种假定下也可由这个数列来刻画呢。
　　斐氏本人对这个数列并没有再做进一步的探讨。直到十九世纪初才有人详加研究，1960年左右，许多数学家对斐波拉契数列和有关的现象非常感到兴趣，不但成立了斐氏学会，还创办了相关刊物，其后各种相关文章也像斐氏的兔子一样迅速地增加。
斐波拉契数列的来源及关系
斐波拉契（Fibonacci）数列来源于兔子问题，它有一个递推关系，
f(1)=1
f(2)=1
f(n)=f(n-1)+f(n-2),其中n>=2
f(n)即为斐波拉契数列。
斐波拉契数列的公式
它的通项公式为:[（1＋√5）/2]^n － [（1－√5）/2]^n /√5 （注：√5表示根号5）
斐波拉契数列的某些性质
1)，f(n)f(n)-f(n+1)f(n-1)=(-1)^n;
2), f(1)+f(2)+f(3)+……+f(n)=f(n+2)-1
3),arctan[1/f(2n+1)]=arctan[1/f(2n+2)]+arctan[1/f(2n+3)]