线性二次型LQR方法可以用于非线性系统吗
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了线性二次型LQR方法可以用于非线性系统吗相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
线性二次型LQR方法可以用于非线性系统吗
参考技术A 在线性二次型调节器 (LQR)理论的基础上 ,提出了双指标函数线性二次型调节器(DLQR)以求解一般化的非线性指标函数的最优控制的问题 .除原有二次型目标函数外 ,引入一个新的形式自由的目标函数以清晰表达实际需要和使用搜索算法优化原目标函数的权 .作为应用举例 ,DLQR用于重载汽车前轮舵角补偿控制 (FSAC)模型中确定控制输入 .仿真证明DLQR清晰表达了实际工程需要 ,有效平衡了各种因素 .DLQR大大扩展了LQR的概念和应用范围 ,能用任何形式的目标函数优化系统线性代数37—— 二次型及其矩阵表示
1.二次型的概念
二次型的意义
中心与坐标原点重合的二次曲线
f
=
a
x
2
+
2
b
x
y
+
c
y
2
\\quad f=a x^{2}+2 b x y+c y^{2}
f=ax2+2bxy+cy2 ,作如下的变换：
x
=
x
′
cos
θ
−
y
′
sin
θ
y
=
x
′
cos
θ
+
y
′
sin
θ
\\begin{array}{l} \\begin{array}{l} x=x^{\\prime} \\cos \\theta-y^{\\prime} \\sin \\theta \\\\ y=x^{\\prime} \\cos \\theta+y^{\\prime} \\sin \\theta \\end{array} \\\\ \\end{array}
x=x′cosθ−y′sinθy=x′cosθ+y′sinθ
得到：
f
=
a
′
x
′
2
+
c
′
y
′
2
\\qquad f=a^{\\prime} x^{\\prime 2}+c^{\\prime} y^{\\prime 2}
f=a′x′2+c′y′2
二次型的概念
定
义
1
\\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义1} }}
定义1 数域F上的n元二次齐次多项式
f
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
)
=
a
11
x
1
2
+
2
a
12
x
1
x
2
+
⋯
+
2
a
1
n
x
1
x
n
+
a
22
x
2
2
+
⋯
⋯
+
2
a
2
n
x
2
x
n
+
a
33
x
3
2
+
⋯
+
2
a
3
n
x
3
x
n
+
⋯
⋯
⋯
+
a
n
n
x
n
2
(1)
\\begin{array}{r} f\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right)=a_{11} x_{1}^{2}+2 a_{12} x_{1} x_{2}+\\cdots+2 a_{1 n} x_{1} x_{n} \\\\ +a_{22} x_{2}^{2}+\\cdots \\cdots+2 a_{2 n} x_{2} x_{n} \\\\ +a_{33} x_{3}^{2}+\\cdots+2 a_{3 n} x_{3} x_{n} \\\\ +\\cdots \\cdots \\cdots \\\\ +a_{n n} x_{n}^{2} \\end{array}\\tag{1}
f(x1,x2,⋯,xn)=a11x12+2a12x1x2+⋯+2a1nx1xn+a22x22+⋯⋯+2a2nx2xn+a33x32+⋯+2a3nx3xn+⋯⋯⋯+annxn2(1)
称为n元二次型,简称为二次型.
- 若 a i j a_{ij} aij 为复数，称为复二次型;
- 若 a i j a_{ij} aij 为实数，称为实二次型.
二次型的表达式也可写作：
f
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
)
=
∑
i
=
1
n
a
i
i
x
i
2
+
2
∑
1
≤
i
<
j
≤
n
a
i
j
x
i
x
j
(2)
f\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right)=\\sum_{i=1}^{n} a_{i i} x_{i}^{2}+2 \\sum_{1 \\leq i<j \\leq n} a_{i j} x_{i} x_{j}\\tag{2}
f(x1,x2,⋯,xn)=i=1∑naiixi2+21≤i<j≤n∑aijxixj(2)
二次型的矩阵表示
令
a
i
j
=
a
j
i
,
(
i
,
j
=
1
,
2
,
…
，
n
)
a_{ij}=a_{ji},(i,j =1,2,…，n)
aij=aji,(i,j=1,2,…，n) 以上是关于线性二次型LQR方法可以用于非线性系统吗的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
f
(
x
)
=
a
11
x
1
2
+
a
12
x
1
x
2
+
a
13
x
1
x
3
+
⋯
+
a
1
n
x
1
x
n
+
a
21
x
1
x
2
+
a
22
x
2
2
+
a
23
x
2
x
3
+
⋯
+
a
2
n
x
2
x
n
+
⋯
⋯
⋯
a
n
1
x