100名运动员的号码分别是1,2,3,4...99,100.选出其中的k名运动员，使他们的号码之和等于2008，那k的最大值

Posted 2023-05-02

K最大，那么要保证所选号码数字最小。

所一可以选择1,2,3……从小开始选。

选到n，和=n*（n+1）/2≤2008
为什么小于等于2008，因为这些数字可能加起来不够，但是多加一个有超过了，但是可以把其中某个或某几个数字换大一点就行了。
n（n+1）<4016
n²+n-4016≤0

62*63 = 3 906
64*63 = 4 032

所以，n最大是62.

希望对你有帮助O(∩_∩)O~追问

怎样得到62*63 = 3 906 64*63 = 4 032 ？试出来的？

参考技术A K是最大值时 ，一定是从1开始加了。这个为题只是在说1加到多少等于2008
设加是我最后一个数字式x X=K
得X是偶数情况时 （1+X）X/2=2008 解不开
X是基数情况时 （1+X）（X-1）/2+（X-1）/2=2008 是正确的 63最接近

十散列表

一、散列思想

• 散列表的英文叫“Hash Table”，也叫它“哈希表”或者“Hash表”。
• 散列表用的是数组支持按照下标随机访问数据的特性，所以散列表其实就是数组的一种扩展，由数组演化而来。可以说，如果没有数组，就没有散列表。

举个例子：

• 假如有89名选手参加学校运动会。为了方便记录成绩，每个选手胸前都会贴上自己的参赛号码。这89名选手的编号依次是1到89。

• 现在希望编程实现这样一个功能，通过编号快速找到对应的选手信息。怎么做呢？

  • 可以把这89名选手的信息放在数组里。
  • 编号为1的选手，我们放到数组中下标为1的位置；编号为2的选手，我们放到数组中下标为2的位置。
  • 以此类推，编号为 k 的选手放到数组中下标为 k 的位置。
  • 因为参赛编号跟数组下标一一对应，当需要查询参赛编号为 x 的选手的时候，只需要将下标为 x 的数组元素取出来就可以了。
  • 时间复杂度就是 O(1)，这样按照编号查找选手信息，效率很高。
  • 实际上，这个例子已经用到了散列的思想。在这个例子里，参赛编号是自然数，并且与数组的下标形成一一映射，所以利用数组支持根据下标随机访问的时候，
    时间复杂度是O(1)这一特性，就可以实现快速查找编号对应的选手信息。

• 在来改造一下这个例子。

• 假设校长说，参赛编号不能设置得这么简单，要加上年级、班级这些更详细的信息。

  • 所以把编号的规则稍微修改了一下，用6位数字来表示。
  • 比如051167，其中，前两位05表示年级，中间两位11表示班级，最后两位还是原来的编号1到89。
  • 这个时候该如何存储选手信息，才能够支持通过编号来快速查找选手信息呢？
  • 思路还是跟前面类似。尽管此时不能直接把编号作为数组下标，但可以截取参赛编号的后两位作为数组下标，来存取选手信息数据。
  • 当通过参赛编号查询选手信息的时候，用同样的方法，取参赛编号的后两位，作为数组下标，来读取数组中的数据。
  • 这就是典型的散列思想。其中，参赛选手的编号叫作键（key）或者关键字。用它来标识一个选手。
  • 把参赛编号转化为数组下标的映射方法就叫作散列函数（或“Hash函数”“哈希函数”），而散列函数计算得到的值就叫作散列值（或“Hash值”“哈希值”）。
• 

• 通过上面的例子，可以总结出这样的规律：

  • 散列表用的就是数组支持按照下标随机访问的时候，时间复杂度是O(1)的特性。
  • 通过散列函数把元素的键值映射为下标，然后将数据存储在数组中对应下标的位置。
  • 当按照键值查询元素时，用同样的散列函数，将键值转化数组下标，从对应的数组下标的位置取数据。

二、散列函数

• 从上面的例子可以看到，散列函数在散列表中起着非常关键的作用。
• 散列函数，顾名思义，它是一个函数。可以把它定义成 hash(key)，其中 key 表示元素的键值， hash(key) 的值表示经过散列函数计算得到的散列值。
• 那第一个例子中，编号就是数组下标，所以 hash(key) 就等于 key。
• 改造后的例子，散列函数用伪代码表示就是下面这样：

int hash(String key) {
      // 获取后两位字符
      string lastTwoChars = key.substr(length-2, length);
      // 将后两位字符转换为整数
      int hashValue = convert lastTwoChas to int-type;
      return hashValue;
}

• 散列函数设计的基本要求：
  1. 散列函数计算得到的散列值是一个非负整数；
  2. 如果key1 = key2，那 hash(key1) == hash(key2)；
  3. 如果key1 ≠ key2，那 hash(key1) ≠ hash(key2)。
• 解释一下这三点:
  • 其中，第一点因为数组下标是从0开始的，所以散列函数生成的散列值也要是非负整数。
  • 第二点相同的 key，经过散列函数得到的散列值也应该是相同的。
  • 第三点看起来合情合理，但是在真实的情况下，要想找到一个不同的key对应的散列值都不一样的散列函数，几乎是不可能的。即便像业界著名的MD5、 SHA、 CRC等哈希算法，也无法完全避免这种散列冲突。而且，因为数组的存储空间有限，也会加大散列冲突的概率。
  • 所以几乎无法找到一个完美的无冲突的散列函数，即便能找到，付出的时间成本、计算成本也是很大的，所以针对散列冲突问题，需要通过其他途径来
    解决。

三、散列冲突

再好的散列函数也无法避免散列冲突。常用的散列冲突解决方法有两类，开放寻址法（open addressing）和链表法（chaining）。

3.1、开放寻址法

开放寻址法的核心思想是，如果出现了散列冲突，就重新探测一个空闲位置，将其插入。

1.线性探测

• 重新探测新的位置一个比较简单的探测方法是线性探测（Linear Probing）。

• 当往散列表中插入数据时，如果某个数据经过散列函数散列之后，存储位置已经被占用了，就从当前位置开始，依次往后查找，看是否有空闲位置，直到找到为止。

• 

• 从图中可以看出，散列表的大小为10，在元素 x 插入散列表之前，已经6个元素插入到散列表中。 x 经过 Hash 算法之后，被散列到位置下标为7的位置，但是这个位置已经有数据了，所以就产生了冲突。于是就顺序地往后一个一个找，看有没有空闲的位置，遍历到尾部都没有找到空闲的位置，于是再从表头开始找，直到找到空闲位置2，于是将其插入到这个位置。

查找操作：

• 在散列表中查找元素的过程有点儿类似插入过程。
• 通过散列函数求出要查找元素的键值对应的散列值，然后比较数组中下标为散列值的元素和要查找的元素。
• 如果相等，则说明就是要找的元素；否则就顺序往后依次查找。如果遍历到数组中的空闲位置，还没有找到，就说明要查找的元素并没有在散列表中。

删除操作：

• 散列表跟数组一样，不仅支持插入、查找操作，还支持删除操作。
• 对于使用线性探测法解决冲突的散列表，删除操作稍微有些特别。不能单纯地把要删除的元素设置为空。
• 在查找的时候，一旦通过线性探测方法，找到一个空闲位置，就可以认定散列表中不存在这个数据。
• 但是，如果这个空闲位置是后来删除的，就会导致原来的查找算法失效。本来存在的数据，会被认定为不存在。
• 此时可以将删除的元素，特殊标记为 deleted。当线性探测查找的时候，遇到标记为 deleted 的空间，并不是停下来，而是继续往下探测。
• 

2.其他方法

• 线性探测法其实存在很大问题。当散列表中插入的数据越来越多时，散列冲突发生的可能性就会越来越大，空闲位置会越来越少，线性探测的时间就会越来越久。
• 极端情况下，可能需要探测整个散列表，所以最坏情况下的时间复杂度为O(n)。
• 同理，在删除和查找时，也有可能会线性探测整张散列表，才能找到要查找或者删除的数据。
• 对于开放寻址冲突解决方法，除了线性探测方法之外，还有另外两种比较经典的探测方法， 二次探测（Quadratic probing）和双重散列（Double hashing）。

二次探测

• 跟线性探测很像，线性探测每次探测的步长是1，那它探测的下标序列就是 hash(key)+0， hash(key)+1， hash(key)+2……
• 而二次探测探测的步长就变成了原来的“二次方”，也就是说，它探测的下标序列就是 hash(key)+0， hash(key)+12， hash(key)+22……

双重散列

• 就是不仅要使用一个散列函数。使用一组散列函数 hash1(key)， hash2(key)， hash3(key)……
• 先用第一个散列函数，如果计算得到的存储位置已经被占用，再用第二个散列函数，依次类推，直到找到空闲的存储位置。

总结一下：

• 不管采用哪种探测方法，当散列表中空闲位置不多的时候，散列冲突的概率就会大大提高。
• 为了尽可能保证散列表的操作效率，一般情况下，会尽可能保证散列表中有一定比例的空闲槽位。
• 用装载因子（load factor）来表示空位的多少。
• 装载因子的计算公式是：
  • 散列表的装载因子 = 填入表中的元素个数 / 散列表的长度
• 装载因子越大，说明空闲位置越少，冲突越多，散列表的性能会下降。

3.2、链表法

• 链表法是一种更加常用的散列冲突解决办法，相比开放寻址法，它要简单很多。

• 如下图所示，在散列表中，每个“桶（bucket） ”或者“槽（slot） ”会对应一条链表，所有散列值相同的元素都放到相同槽位对应的链表中。

• 

• 当插入的时候，只需要通过散列函数计算出对应的散列槽位，将其插入到对应链表中即可，所以插入的时间复杂度是O(1)。

• 当查找、删除一个元素时，同样通过散列函数计算出对应的槽，然后遍历链表查找或者删除。

• 查找或删除操作的时间复杂度跟链表的长度 k 成正比，也就是 O(k)。对于散列比较均匀的散列函数来说，理论上讲， k=n/m，其中 n 表示散列中数据的个数，m 表示散列表中“槽”的个数。