LeetCode（124）：二叉树中的最大路径和

Posted 2020-11-17 Ariel_一只猫的旅行

Hard！

题目描述：

给定一个非空二叉树，返回其最大路径和。

本题中，路径被定义为一条从树中任意节点出发，达到任意节点的序列。该路径至少包含一个节点，且不需要经过根节点。

示例 1:

输入: [1,2,3]

       1
      /      2   3

输出: 6

示例 2:

输入: [-10,9,20,null,null,15,7]

   -10
   /   9  20
    /     15   7

输出: 42

解题思路：

这道求二叉树的最大路径和是一道蛮有难度的题，难就难在起始位置和结束位置可以为任意位置，像这种类似数的遍历的题，一般来说都需要用DFS来求解，我们先来看一个简单的例子：

    4
   /   11 13
 / 7   2

由于这是一个很简单的例子，我们很容易就能找到最长路径为7-11-4-13，那么怎么用递归来找出正确的路径和呢？根据以往的经验，树的递归解法一般都是递归到叶节点，然后开始边处理边回溯到根节点。那么我们就假设此时已经递归到结点7了，那么其没有左右子节点，所以如果以结点7为根结点的子树最大路径和就是7。然后回溯到结点11，如果以结点11为根结点的子树，我们知道最大路径和为7+11+2=20。但是当回溯到结点4的时候，对于结点11来说，就不能同时取两条路径了，只能取左路径，或者是右路径，所以当根结点是4的时候，那么结点11只能取其左子结点7，因为7大于2。所以，对于每个结点来说，我们要知道经过其左子结点的path之和大还是经过右子节点的path之和大。那么我们的递归函数返回值就可以定义为以当前结点为根结点，到叶节点的最大路径之和，然后全局路径最大值放在参数中，用结果res来表示。

在递归函数中，如果当前结点不存在，那么直接返回0。否则就分别对其左右子节点调用递归函数，由于路径和有可能为负数，而我们当然不希望加上负的路径和，所以我们和0相比，取较大的那个，就是要么不加，加就要加正数。然后我们来更新全局最大值结果res，就是以左子结点为终点的最大path之和加上以右子结点为终点的最大path之和，还要加上当前结点值，这样就组成了一个条完整的路径。而我们返回值是取left和right中的较大值加上当前结点值，因为我们返回值的定义是以当前结点为终点的path之和，所以只能取left和right中较大的那个值，而不是两个都要。

C++解法一：

 1 class Solution {
 2 public:
 3     int maxPathSum(TreeNode* root) {
 4         int res = INT_MIN;
 5         helper(root, res);
 6         return res;
 7     }
 8     int helper(TreeNode* node, int& res) {
 9         if (!node) return 0;
10         int left = max(helper(node->left, res), 0);
11         int right = max(helper(node->right, res), 0);
12         res = max(res, left + right + node->val);
13         return max(left, right) + node->val;
14     }
15 };

讨论：这道题有一个很好的Follow up，就是返回这个最大路径，那么就复杂很多，因为我们的递归函数就不能返回路径和了，而是返回该路径上所有的结点组成的数组，递归的参数还要保留最大路径之和，同时还需要最大路径结点的数组，然后对左右子节点调用递归函数后得到的是数组，我们要统计出数组之和，并且跟0比较，如果小于0，和清零，数组清空。然后就是更新最大路径之和跟数组啦，还要拼出来返回值数组，代码长了很多，有兴趣的童鞋可以尝试一下。